[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l|lll}a)&sin\alpha=\dfrac35&cos\alpha=\dfrac45&tg\alpha=\dfrac{3}4\\&\multicolumn{3}{l}{\text{Tozsamosci sa spelnione}}\\\cline{1-4}b)&sin\alpha=\dfrac{\sqrt5}5&cos\alpha=\dfrac{2\sqrt5}5&tg\alpha=\dfrac12\\&\multicolumn{3}{l}{\text{Tozsamosci sa spelnione}}\end{array}}[/tex]
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej na przeciwko kąta α do przeciwprostokątnej.
Cosinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przeciwprostokątnej.
Tangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej na przeciwko kąta α do przyprostokątnej leżącej przy kącie α.
Cotangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przyprostokątnej leżącej na przeciwko kąta α.
Jeżeli a to przyprostokątna leżąca na przeciwko kąta α, b jest przyprostokątną leżącą przy kącie α, a c - przeciwprostokątna, to wzory na funkcje trygonometryczne są jak poniżej:
Wzory na tangens i cotangens: [tex]\huge\boxed{\begin{matrix}tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}&ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\tg\alpha=\dfrac1{ctg\alpha}&ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}\end{matrix}}[/tex]
Rozwiązanie:
a)
Wyznaczamy funkcje trygonometryczne korzystając z ich definicji:
Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l|lll}a)&sin\alpha=\dfrac35&cos\alpha=\dfrac45&tg\alpha=\dfrac{3}4\\&\multicolumn{3}{l}{\text{Tozsamosci sa spelnione}}\\\cline{1-4}b)&sin\alpha=\dfrac{\sqrt5}5&cos\alpha=\dfrac{2\sqrt5}5&tg\alpha=\dfrac12\\&\multicolumn{3}{l}{\text{Tozsamosci sa spelnione}}\end{array}}[/tex]
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
Jeżeli a to przyprostokątna leżąca na przeciwko kąta α, b jest przyprostokątną leżącą przy kącie α, a c - przeciwprostokątna, to wzory na funkcje trygonometryczne są jak poniżej:
[tex]\huge\boxed{\begin{matrix}sin\alpha=\dfrac{a}c&cos\alpha=\dfrac{b}c\\\\tg\alpha=\dfrac{a}b&ctg\alpha=\dfrac{b}a\end{matrix}}[/tex]
Tożsamości trygonometryczne
Tożsamościami trygonometrycznymi nazywne są pewne równości łączące ze sobą funkcje trygonometryczne tego samego kąta.
Podstawowe tożsamości trygonometryczne to:
[tex]\huge\boxed{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\begin{matrix}tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}&ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\tg\alpha=\dfrac1{ctg\alpha}&ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}\end{matrix}}[/tex]
Rozwiązanie:
a)
Wyznaczamy funkcje trygonometryczne korzystając z ich definicji:
[tex]\begin{matrix}sin\alpha=\dfrac35,&cos\alpha=\dfrac45,&tg\alpha=\dfrac34\end{matrix}[/tex]
Sprawdzamy jedynkę trygonometryczną:
[tex]\left(\dfrac35\right)^2+\left(\dfrac45\right)^2=1\\\\\dfrac9{25}+\dfrac{16}{25}=1\\\\\dfrac{25}{25}=1\\\\L=P[/tex]
Sprawdzamy wzór na tangens z wykorzystaniem funkcji sinus i cosinus:
[tex]\dfrac34=\dfrac{\frac35}{\frac45}\\\\\dfrac34=\dfrac35:\dfrac45\\\\\dfrac34=\dfrac3{5\!\!\!\!\diagup}\cdot\dfrac{5\!\!\!\!\diagup}4\\\\\dfrac34=\dfrac34\\\\L=P[/tex]
b)
Wyznaczamy funkcje trygonometryczne korzystając z ich definicji:
[tex]\begin{matrix}sin\alpha=\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}5,&cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}5,&tg\alpha=\dfrac{1}2\end{matrix}[/tex]
Sprawdzamy jedynkę trygonometryczną:
[tex]\left(\dfrac{\sqrt5}5\right)^2+\left(\dfrac{2\sqrt5}5\right)^2=1\\\\\dfrac{5}{25}+\dfrac{4\cdot 5}{25}=1\\\\\dfrac5{25}+\dfrac{20}{25}=1\\\\\dfrac{25}{25}=1\\\\L=P[/tex]
Sprawdzamy wzór na tangens:
[tex]\dfrac12=\dfrac{\frac{\sqrt5}5}{\frac{2\sqrt5}5}\\\\\dfrac12=\dfrac{\sqrt5}5:\dfrac{2\sqrt5}5\\\\\dfrac12=\dfrac{\sqrt5\!\!\!\!\!\!\diagup}{5\!\!\!\!\diagup}\cdot\dfrac{5\!\!\!\!\diagup}{2\sqrt5\!\!\!\!\!\!\diagup}\\\\\dfrac12=\dfrac12\\\\L=P[/tex]