Question

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna. Klasa III Liceum. Daje naj.

Answer 1

Odpowiedź:

1.

żeby przesunąć funkcję o 2 jednostki w prawo musimy przy każdym x napisać -2, czyli log(x-2).

żeby funkcje przesunąć 2 jednostki w dół na końcu dopisujemy -2. ostatecznie otrzymujemy:

f(x) = log(x-2)-2

Dziedzina funkcji log(x) są x>0, więc funkcji przesuniętej 2 jednostki w prawo będzie x>2, czyli: x∈(2,+∞)

2.

Wyznaczmy na początku punkt (nazwijmy go D) pomiędzy punktami A i B:

Wyznaczenie punktu D:

Punkt D jest średnią arytmetyczną współrzędnych punktów A i B, więc jego współrzędne (xD, yD) będą równe:

D = ((xA + xB) / 2, (yA + yB) / 2) = ((3 + 5) / 2, (2 + 4) / 2) = (4, 3).

Wyznaczenie funkcji przechodzącej przez punkty A i B:

Funkcja liniowa ma postać y = ax + b. Skoro mamy dwa punkty, możemy wyznaczyć a (nachylenie) i b (punkt przecięcia z osią Y) korzystając z wzoru nachylenia prostej:

a = (yB - yA) / (xB - xA) = (4 - 2) / (5 - 3) = 2 / 2 = 1.

Teraz obliczamy b:

y = ax + b

Podstawiamy współrzędne punktu A (lub B):

2 = 1 * 3 + b

b = 2 - 3 = -1.

Więc równanie prostej przechodzącej przez A i B to:

y = x - 1.

Wyznaczenie funkcji prostopadłej:

Funkcja prostopadła do danej prostej ma nachylenie, które jest przeciwne do odwrotności nachylenia danej prostej. Skoro nasza prosta ma nachylenie a = 1, to prosta prostopadła będzie miała nachylenie a' = -1. Teraz musimy znaleźć b' tak, aby prosta przechodziła przez punkt D (4, 3):

y = -x + b'

3 = -4 + b'

b' = 3 + 4 = 7.

Więc równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez D to:

y = -x + 7.

Znalezienie punktu przecięcia funkcji:

Rozwiązujemy równanie, które znajdzie punkt wspólny prostej prostopadłej i prostej y = 2x + 1:

-x + 7 = 2x + 1

7 - 1 = 2x + x

6 = 3x

x = 2.

Teraz obliczamy y:

y = 2 * 2 + 1

y = 5.

Więc punkt C, gdzie obie proste się przecinają, ma współrzędne (2,5).

Obliczenie długości boków i obwodu trójkąta:

Długość boku AC (korzystając z twierdzenia Pitagorasa):

AC = [tex]\sqrt((xC - xA)^2 + (yC - yA)^2) = \sqrt((2 - 3)^2 + (5 - 2)^2) = \sqrt((-1)^2 + 3^2) = \sqrt(1 + 9) = \sqrt(10).[/tex]

Długość boku AB:

AB = [tex]\sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2) = \sqrt((5 - 3)^2 + (4 - 2)^2) = \sqrt(2^2 + 2^2) = \sqrt(4 + 4) = \sqrt(8) = 2\sqrt(2)[/tex].

Obwód trójkąta ABC będzie sumą długości boków AC, AB i BC (gdzie BC jest długością z punktu B do punktu C, którą można obliczyć tak samo jak AC i AB, ale ponieważ punkt C leży na prostej y = 2x + 1, to BC jest po prostu odległością między punktami B i C na tej prostej).

Obliczmy długość BC:

BC = [tex]\sqrt((xC - xB)^2 + (yC - yB)^2) = \sqrt((2 - 5)^2 + (5 - 4)^2) = \sqrt((-3)^2 + 1^2) = \sqrt(9 + 1) = \sqrt(10)[/tex].

Teraz możemy obliczyć obwód trójkąta ABC:

Obwód = AB + AC + BC = [tex]2\sqrt(2) + \sqrt(10) + \sqrt(10) = 2\sqrt(2) + 2\sqrt(10)[/tex].

Podsumowując, obwód trójkąta ABC wynosi [tex]2\sqrt(2) + 2\sqrt(10)[/tex].