Question

Funkcja liniowa określona jest wzorem y=-1x-3 . Na wykresie tej funkcji znajdź taki punkt o współrzędnych P(x,y) , aby iloczyn x·y był największy możliwy.
Podaj ten największy możliwy iloczyn.

Answer 1

Największy taki możliwy iloczyn wynosi:

[tex]\huge\boxed{\left(-1\dfrac12\right)\cdot\left(-1\dfrac12\right)=\dfrac94=2\dfrac14}[/tex]

Badanie funkcji kwadratowej - zadanie optymalizacyjne

Zadania optymalizacyjne możemy rozwiązywać w następujący sposób:

1. Określamy funkcję kwadratową i jej dziedzinę.
2. Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do wyznaczonej dziedziny.
3. Jeśli wierzchołek należy do dziedziny, to w wierzchołku szukamy wartości największej/najmniejszej funkcji. Jeśli nie, wartość tę szukamy na krańcach dziedziny (jeśli dziedzina jest określona jako przedział domknięty).

Potrzebne wzory:

[tex]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/tex] - wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex] - wyróżnik funkcji kwadratowej

[tex]W\left(p,q\right)[/tex] - współrzędne wierzchołka paraboli, gdzie:

[tex]p=-\dfrac{b}{2a}[/tex]

[tex]q=-\dfrac{\Delta}{4a}=f\left(p\right)[/tex]

Rozwiązanie:

Funkcja liniowa jest określona wzorem:

[tex]y=-x-3[/tex]

Na wykresie tej funkcji znajdziemy taki punkt o współrzędnych P(x,y), aby iloczyn jego współrzędnych [tex]x\cdot y[/tex] był możliwie największy, a następnie obliczymy ten iloczyn.

Współrzędne punktu na wykresie tej funkcji liniowej można określić jako:

[tex]P\left(x,-x-3\right)[/tex]

Możemy określić funkcję opisującą wszystkie iloczyny współrzędnych takich punktów następująco:

[tex]f\left(x\right)=x\left(-x-3\right)=-x^2-3x[/tex]

Dziedziną tej funkcji jest zbiór [tex]D_f=\mathbb{R}[/tex] (dziedzina jest taka sama, jak podanej funkcji liniowej).

Wykresem funkcji f jest parabola skierowana ramionami w dół, zatem funkcja ta przyjmuje największą wartość w wierzchołku W(p,q). Wyznaczymy argument p, dla którego ta wartość jest przyjmowana, oraz wartość funkcji dla tego argumentu.

[tex]p=\dfrac3{2\cdot(-1)}=-\dfrac32\\\\q=f\left(-\dfrac32\right)=-\left(-\dfrac32\right)^2-3\cdot\left(-\dfrac32\right)=-\dfrac94+\dfrac92=-\dfrac94+\dfrac{18}4=\dfrac94[/tex]

Największy możliwy iloczyn współrzędnych punktu leżącego na wykresie funkcji liniowej wynosi [tex]\frac94[/tex]. Pierwsza współrzędna tego punktu to [tex]-\frac32=-1\frac12[/tex], druga wynosi:

[tex]y=-\left(-\dfrac32\right)-3=1\dfrac12-3=-1\dfrac12[/tex]