Question

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(3m-2)x^2-3(m+2)x+2m-1.Wyznacz wszystkie funkcje wartości parametru m,dla których suma dwóch różnych miejsc zerowych tej funkcji nie jest mniejsza niż 3.

Answer 1

Verified answer

Funkcja wygląda następująco:

[tex]f(x)=(3m-2)x^2-3(m+2)x+2m-1[/tex]

Pierwszy warunek, to Δ>0 (tylko wtedy funkcja będzie miała 2 miejsca zerowe):

[tex]\Delta=b^2-4ac=(-3m-6)^2-4*(3m-2)*(2m-1)=9m^2+36m+36-4*(6m^2-3m-4m+2)=9m^2+36m+36-4*(6m^2-7m+2)=9m^2+36m+36-24m^2+28m-8=-15m^2+64m+28[/tex]

To wyrażenie ma być większe od 0:

[tex]\Delta > 0 \\-15m^2+64m+28 > 0\\\Delta_m=64^2-4*(-15)*28=4096-4*(-420)=4096+1680=5776\\\sqrt{\Delta_m} =76\\m_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} =\frac{-64-76}{2*(-15)} =\frac{-140}{-30} =\frac{14}{3} \\m_2=\frac{-b+\sqrt \Delta }{2a} =\frac{-64+76}{2*(-15)} =\frac{12}{-30} =-\frac{2}{5} \\m\in (-\frac{2}{5} ,\frac{14}{3} )[/tex]

Drugi warunek to x₁+x₂≥3

[tex]x_1+x_2\geq 3\\\frac{-b}{a} \geq 3\\\frac{-(-3m-6)}{3m-2} \geq 3\\\frac{3m+6}{3m-2} \geq 3\\\frac{3m+6}{3m-2} -3\geq 0\\\frac{3m+6}{3m-2} -\frac{3*(3m-2)}{3m-2} \geq 0\\\frac{3m+6}{3m-2} -\frac{9m-6}{3m-2} \geq 0\\\frac{3m+6-9m+6}{3m-2} \geq 0\\\frac{-6m+12}{3m-2} \geq 0\\(-6m+12)(3m-2)\geq 0\\-18m^2+12m+36m-24\geq 0\\-18m^2+48m-24\geq \\\Delta_2=48^2-4*(-18)*(-24)=2304-4*432=576\\\sqrt{\Delta _2} =24\\[/tex]

[tex]m_1=\frac{-48-24}{2*(-18)} =2\\m_2=\frac{-48+24}{2*(-18)} =\frac{2}{3} \\m\in < \frac{2}{3} ,2 >[/tex]

Łączymy oba warunki i otrzymujemy:

[tex]m\in < \frac{2}{3} ,2 >[/tex]

2/3 odrzucamy, bo dla niej x^2 znika:

[tex]m\in(\frac{2}{3} ,2 >[/tex]