Odpowiedź:
a)
y = x² + 5x + 6
1) Wyznaczamy miejsca zerowe
x² + 5x + 6 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 6
Δ = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1
√Δ = √1 = 1
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 5 - 1)/2 = - 6/2 = - 3
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 5 + 1)/2 = - 4/2 = - 2
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli
p - współrzędna x = - b/2a = - 5/2 = - 2 1/2
q - współrzędna y = - Δ/4a = - 1/4
W - współrzędne wierzchołka = (p , q) = (- 2 1/2 , - 1/4 )
a = 1 > 0 , więc ramiona paraboli skierowane do góry
2) Wykres paraboli w załączniku
3) Monotoniczność funkcji
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ (- ∞ ; - 2 1/2>
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ < - 2 1/2 , + ∞ )
4)
f(x) > 0 dla x ∈ (- ∞ , - 2 1/2 ) ∪ ( - 1/4 , + ∞ )
5)
f(x) < 0 dla x ∈ ( - 2 1/2 , - 1/4 )
b)
y = - x² + 8x - 12
- x² + 8x - 12 = 0
a = - 1 , b = 8 , c = - 12
Δ = b² - 4ac = 8² - 4 * (- 1) * ( - 12) = 64 - 48 = 16
√Δ = √16 = 4
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 8 - 4)/(- 2) = - 12/(- 2) = 12/2 = 6
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 8 + 4)/(- 2) = - 4/(- 2) = 4/2 = 2
p - współrzędna x = - b/2a = - 8/(- 2) = 8/2 = 4
q - współrzędna y = - Δ/4a = - 16/(- 4) = 16/4 = 4
W - współrzędne wierzchołka = (p , q) = (4 , 4 )
a = - 1 < 0 , więc ramiona paraboli skierowane do dołu
2) Wykres w załączniku nr 2
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ ( - ∞ , 4 >
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ < 4 , + ∞ )
f(x) > 0 dla x ∈ ( 2 , 6 )
f(x) < 0 dla x ∈ (- ∞ , 2 ) ∪ ( 6 , + ∞ )
c)
f(x) = - 3x² + 3
- 3x² + 3 = 0
- 3(x² - 1) = 0
(x² - 1) = 0
(x - 1)(x + 1) = 0
x - 1 = 0 ∨ x + 1 = 0
x = 1 ∨ x = - 1
a = - 3 , b = 0 , c = 3
Δ = b² - 4ac = 0² - 4 * (- 3) * 3 = 12 * 3 = 36
p = - b/2a = 0/(- 6) = 0
q = - Δ/4a = - 36/(- 12) = 36/12 = 3
W = ( 0 , 3 )
a = - 3 < 0 , więc ramiona paraboli skierowane do dołu
2) Wykres w załączniku nr 3
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ (- ∞ , 0 >
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ < 0 , + ∞ )
f(x) > 0 dla x ∈ ( - 1 , 1 )
f(x) < 0 dla x ∈ (- ∞ , - 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ )
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Verified answer
Odpowiedź:
a)
y = x² + 5x + 6
1) Wyznaczamy miejsca zerowe
x² + 5x + 6 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 6
Δ = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1
√Δ = √1 = 1
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 5 - 1)/2 = - 6/2 = - 3
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 5 + 1)/2 = - 4/2 = - 2
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli
p - współrzędna x = - b/2a = - 5/2 = - 2 1/2
q - współrzędna y = - Δ/4a = - 1/4
W - współrzędne wierzchołka = (p , q) = (- 2 1/2 , - 1/4 )
a = 1 > 0 , więc ramiona paraboli skierowane do góry
2) Wykres paraboli w załączniku
3) Monotoniczność funkcji
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ (- ∞ ; - 2 1/2>
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ < - 2 1/2 , + ∞ )
4)
f(x) > 0 dla x ∈ (- ∞ , - 2 1/2 ) ∪ ( - 1/4 , + ∞ )
5)
f(x) < 0 dla x ∈ ( - 2 1/2 , - 1/4 )
b)
y = - x² + 8x - 12
1) Wyznaczamy miejsca zerowe
- x² + 8x - 12 = 0
a = - 1 , b = 8 , c = - 12
Δ = b² - 4ac = 8² - 4 * (- 1) * ( - 12) = 64 - 48 = 16
√Δ = √16 = 4
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 8 - 4)/(- 2) = - 12/(- 2) = 12/2 = 6
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 8 + 4)/(- 2) = - 4/(- 2) = 4/2 = 2
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli
p - współrzędna x = - b/2a = - 8/(- 2) = 8/2 = 4
q - współrzędna y = - Δ/4a = - 16/(- 4) = 16/4 = 4
W - współrzędne wierzchołka = (p , q) = (4 , 4 )
a = - 1 < 0 , więc ramiona paraboli skierowane do dołu
2) Wykres w załączniku nr 2
3) Monotoniczność funkcji
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ ( - ∞ , 4 >
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ < 4 , + ∞ )
4)
f(x) > 0 dla x ∈ ( 2 , 6 )
5)
f(x) < 0 dla x ∈ (- ∞ , 2 ) ∪ ( 6 , + ∞ )
c)
f(x) = - 3x² + 3
1) Wyznaczamy miejsca zerowe
- 3x² + 3 = 0
- 3(x² - 1) = 0
(x² - 1) = 0
(x - 1)(x + 1) = 0
x - 1 = 0 ∨ x + 1 = 0
x = 1 ∨ x = - 1
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli
a = - 3 , b = 0 , c = 3
Δ = b² - 4ac = 0² - 4 * (- 3) * 3 = 12 * 3 = 36
p = - b/2a = 0/(- 6) = 0
q = - Δ/4a = - 36/(- 12) = 36/12 = 3
W = ( 0 , 3 )
a = - 3 < 0 , więc ramiona paraboli skierowane do dołu
2) Wykres w załączniku nr 3
3) Monotoniczność funkcji
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ (- ∞ , 0 >
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ < 0 , + ∞ )
4)
f(x) > 0 dla x ∈ ( - 1 , 1 )
5)
f(x) < 0 dla x ∈ (- ∞ , - 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ )