Question

Explica que diferencias hay entre numeros enteros y numeros racionales ,despues responde

Answer 1

1.1. Introducci´on. Es usual observar que en el trabajo con los n´umeros, algunas conclusiones y m´etodos que son correctos y ´utiles en el contexto de los n´umeros enteros, se extienden a los racionales a´un cuando en el nuevo contexto carezcan de validez. Por ejemplo, no es inusual que ante el pedido que se ordenen de menor a mayor los siguientes n´umeros: 0.9, 0.23 y 1 un alumno responda: 1 < 0.9 < 0.23. Esto se debe a una extrapolaci´on de la siguiente desigualdad que es correcta a nivel de los n´umeros enteros: 1 < 9 < 23, al caso de la representaci´on decimal de los racionales mencionados. Se podr´ıa decir que el error responde a la l´ogica al extrapolar de un contexto conocido a otro que se est´a conociendo. Otra situaci´on relacionada tambi´en con el orden, es que trat´andose de fracciones se comparen en forma independiente numerador y denominador como por ejemplo para ordenar 2 3 y 1 9 . En este caso, como nueve es el mayor de los d´ıgitos involucrados se escribe que 2 3 < 1 9 . Tambi´en se cometen errores cuando se extiende equivocadamente el concepto de sucesor y predecesor que es v´alido para los enteros al campo num´erico de los racionales en que no es v´alido. Por ejemplo, es frecuente que los alumnos piensen que entre 0.3 y 0.4 no hay ning´un otro n´umero racional. Otra confusi´on de ese tipo, aparece cuando se usa la representaci´on decimal y se piensa que a semejanza de lo que sucede con los enteros, un n´umero con m´as cifras es autom´aticamente mayor que otro con menos cifras (por ejemplo que 1,8 es mayor que 2). Si bien es ´util que para trabajar sobre los errores se marquen en todas las circunstancias las diferencias, tambi´en es muy importante tener en cuenta que no todo son diferencias entre los enteros y los racionales. Algunas de las propiedades y de las t´ecnicas de trabajo con los enteros, se generalizan a los racionales. Por ejemplo, de la misma forma que todo entero tiene un opuesto (por ejemplo el opuesto de 2 es -2 y el de -7 es 7), tambi´en todo n´umero racional tiene un opuesto. Y lo mismo vale para muchas de las propiedades operatorias. Otra semejanza importante es que tanto los enteros como los racionales admiten una representaci´on decimal, aunque en el caso de los racionales en algunos casos esta representaci´on puede ser infinita –ver las notas tituladas: Los racionales. El objetivo de estas notas –y los correspondientes ejercicios– es el de ilustrar este tipo de situaciones de semejanzas y de diferencias. Comenzaremos con las semejanzas m´as notorias y luego trataremos algunas de las diferencias m´as importantes teniendo en cuenta sobre todo los errores m´as frecuentes realizados por los alumnos. Recordamos que los enteros son: Z = {· · · , −n, · · · , −1, 0, 1, · · · , n, · · · }, y los racionales son: Q = { a b : a, b ∈ Z , b 6= 0}. Un entero n se puede interpretar como el racional n 1 y de esta forma se logra que Z ⊂ Q1 . En estas notas la operaci´on de suma se representa siempre como + y la operaci´on de producto se representa de las siguientes formas: a × b = a.b = ab, siendo la m´as usual la tercera excepto en caso que pueda haber