Question

¿Existe algún poliedro regular en el que concurran cuatro pentagonos regulares en cada vértice? Explica por qué.

Answer 1

Para que el poliedro sea regular se tiene que dar que todas sus caras sean polígonos regulares iguales y que en cada vértice concurran el mismo número de caras. Por otra parte, si tomamos las caras que concurren en un vértice y las aplastamos hasta que queden en un plano, el ángulo formado por todas ellas debe ser menor que 360º, ya que si es igual o mayor que 360º no se podrá formar un poliedro regular convexo.

Bien, sabiendo todo esto lo que vamos a hacer es ir valorando todas las posibilidades. Supongamos que queremos formar un poliedro con triángulos equiláteros (recordad que las caras deben ser polígonos regulares), donde, como sabemos, cada ángulo mide 60º. Podríamos juntar tres de ellos para formar un vértice, obteniendo un ángulo de 180º. Como es menor que 360º esta configuración sería válida. De hecho da como resultado el tetraedro:

Tetraedro

También podríamos juntar cuatro triángulos equiláteros para formar un vértice. En este caso formarían un ángulo de 240º, que al ser también menor que 360º dará lugar a otro poliedro regular, el octaedro en este caso:

Octaedro

Y podríamos juntar cinco triángulos equiláteros, formando así un ángulo de 300º, menor que 360º también. Tenemos así otro poliedro regular, el icosaedro:

Icosaedro

¿Qué ocurre si tomamos más de cinco triángulos equiláteros? Pues que el ángulo que formaría el desarrollo plano de esa configuración sería mayor o igual que 360º, por lo que no tendríamos un poliedro regular convexo.

Pasemos a la siguiente opción, el cuadrado, en el que cada ángulo mide 90º. Si tomamos tres cuadrados obtenemos un ángulo de 270º, menor que 360º, por lo que tenemos poliedro regular, el cubo (o hexaedro):

Cubo

Si tomamos cuatro cuadrados o más, el ángulo que se formaría es mayor o igual que 360º, por lo oque tampoco nos sirve.

Pasamos al pentágono regular, cuyos ángulos miden 108º. Si tomamos tres de ellos tendríamos un ángulo de 324º, que al ser menor que 360º nos da otro poliedro regular más, el dodecaedro:

Dodecaedro

Si tomamos cuatro o más pentágonos tendríamos un ángulo mayor que 360º.

Siguiente opción, el hexágono regular, en el que los ángulos miden 120º. Tomando tres de ellos ya tendríamos un ángulo de 360º, hecho que descarta la posibilidad de que se pueda construir un poliedro regular convexo con hexágonos.

Y de aquí en adelante la situación es análoga. Con cualquier polígono regular con más de seis lados se tiene que al juntar tres de ellos iguales el ángulo formado es mayor que 360º, por lo que no se puede construir un poliedro regular con ellos. Tenemos así demostrado que solamente existen cinco poliedros regulares convexos.

Esto se cumple si hablamos de \mathbb{R}^3, de tres dimensiones. ¿Qué ocurre en el resto de casos, tanto menores como mayores que 3? Bien, en realidad os he engañado un poco. En el título del post no debería poner poliedro, sino polítopo, que es la generalización a dimensión n de lo que en dimensión 2 es un polígono y en dimensión 3 es un poliedro. Es decir, vamos a ver cuántos polítopos regulares hay en cualquier dimensión, sean irracionales o no.

¿Cuántos polítopos regulares hay?

Vamos a partir de lo que ya conocemos, de lo que ocurre en dimensión 3, para ir hacia abajo y hacia arriba. Cada poliedro regular en \mathbb{R}^3 tiene un cierto número de caras, que son polígonos en \mathbb{R}^2. Sabemos que existen infinitos polígonos regulares: triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, etc. Por tanto en dimensión 2 hay infinitos polítopos regulares. Y cada uno de ellos está limitado por segmentos, por lo que en dimensión 1 existen un único polítopo regular: el segmento. Ya tenemos completo el camino hacia abajo. Veamos qué ocurre cuando aumentamos la dimensión.

Comenzamos con dimensión 4, en \mathbb{R}^4. Para construir un polítopo en \mathbb{R}^4 podemos tomar como cara cualquiera de los cinco poliedros regulares que hay en \mathbb{R}^3. Bien, pues con ellos podemos construir seis polítopos regulares en \mathbb{R}^4, que son el pentacorón (análogo del tetraedro), el hipercubo (análogo del cubo), el hexadecacoron (análogo del octaedro), el hecatonicosacoron (análogo del dodecaedro), el hexacosicoron (análogo del icosaedro) y el icositetracoron (sin análogo en tres dimensiones).

En dimensión 3 hay 5, en dimensión 4 hay 6…¿y en dimensión 5? Pues…3. Sí, hay 3 polítopos regulares en dimensión 5: el hexateron (equivalente al tetraedro), el penteracto (equivalente al cubo) y el triacontakaiditeron (equivalente al octaedro), que se construyen con los seis polítopos regulares de \mathbb{R}^4. No hay más.

Y lo curioso es que en dimensiones superiores ocurre lo mismo: no hay más que tres polítopos regulares para n mayor o igual que 6, que son el n-tetraedro, el n-cubo y el n-octaedro.

Curioso que no haya una aparente relación entre las distintas cantidades de polítopos regulares en todas las dimensiones. Aunque posiblemente si dicha relación existiera sería aún más curioso, ¿verdad?

Espero que te haya servido. :D