Question

Escriba la ecuación general de un circunferencia que tiene su diame- tro determinado por los puntos p1(3,1) y p2(9,9)

Answer 1

【Rpta.】La ecuación general de la circunferencia es x² + y² - 12x -10y +36 = 0

                                 [tex]\green{{\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}}[/tex]

Recordemos que la ecuación de una circunferencia se define como:

[tex]\overset{\mathsf{\vphantom{\Big |}Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}}}}\hspace{20pt} \mathsf{Donde}\hspace{10pt}\begin{array}{ll}\mathsf{\blue{\rightarrow}\ \mathrm{r:radio}} \\\\\mathsf{\blue{\rightarrow}\ \mathrm{(h,k): Centro\:de\:la\:circunferencia}}\end{array}[/tex]

Como observamos necesitamos conocer el radio y el centro, entonces

✅ Hallemos el radio

Por ello determinaremos la distancia entre los puntos p1 y p2

                                [tex]\begin{array}{c}\mathsf{d[p1,p2]=\sqrt{[(3)-(9)]^2+[(1)-(9)]^2}}\\\\\mathsf{d[p1,p2]=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}}\\\\\mathsf{d[p1,p2]=\sqrt{36+64}}\\\\\mathsf{d[p1,p2]=\sqrt{100}}\\\\\boldsymbol{\mathsf{d[p1,p2]=10\:u}}\end{array}[/tex]

Lo que acabamos de hallar es el diámetro, pero nosotros queremos el radio, entonces lo dividimos entre 2

                      [tex]\mathsf{Di\acute{a}metro = d[p1,p2] = 10\qquad\blue{\Rightarrow}\qquad Radio=5}[/tex]

✅ Hallemos el centro

Por ello determinaremos el punto medio del segmento p1 y p2

                                         [tex]\begin{array}{c}\mathsf{C(h,k)=\left(\dfrac{3 + (9)}{2},\dfrac{1 + (9)}{2}\right)}\\\\\\\mathsf{C(h,k)=\left(\dfrac{12}{2},\dfrac{10}{2}\right)}\\\\\\\boldsymbol{\mathsf{C(h,k)=(6,5)}}\end{array}[/tex]

Lo único que queda es reemplazar estos valores

                            [tex]\begin{array}{c}\mathsf{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}\\\\\mathsf{\big[x-(6)\big]^2+\big[y-(5)\big]^2=\left(5\right)^2}\\\\\mathsf{(x-6)^2+(y-5)^2=25}\\\\\mathsf{\big[x^2 - 2(x)(6)+6^2\big]+\big[y^2- 2(y)(5)+5^2\big]=25}\\\\\mathsf{(x^2- 12x+36)+(y^2- 10y+25)=25}\\\\\mathsf{x^2+y^2 - 12x - 10y + 61=25}\\\\\mathsf{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+y^2- 12x- 10y+ 36=0}}}}}\end{array}[/tex]

                                            [tex]\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{$\sf{\red{O}}$}\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{$\sf{\red{O}}$}\quad\raisebox{15pt}{$\sf{{G}}$}\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{$\sf{{G}}$}\quad\raisebox{15pt}{$\sf{\red{H}}$}\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{$\sf{\red{H}}$}\quad\raisebox{10pt}{$\sf{{E}}$}\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{$\sf{{E}}$}\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}[/tex]