En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas.
Funciones inversas
Para el caso simple de una función de una variable, por ejemplo, h(x), se puede resolver una ecuación del tipo
h(x) = c, c constante
si se tiene en cuenta lo que se denomina la función inversa de h.
Dada una función h : A → B, la función inversa, identificada como h-1, se define como h-1 : B → A es una función tal que
h-1(h(x)) = h(h-1(x)) = x.
Ahora, si se aplica la función inversa de ambos lados de la igualdad
h(x)=c, c constante
se obtiene
h-1(h(x))=h-1(c)x = h-1(c)
y se ha encontrado la solución de la ecuación. Sin embargo, dependiendo de la función, puede ser difícil definir la inversa, o puede que no sea una función en todo el conjunto B (solo por ejemplo en un subconjunto), y tener muchos valores para un dado punto.
Ejemplos
Si x aparece como sumando en la ecuación, se suma el término opuesto (con el signo cambiado) a ambos lados de la ecuación para obtener x. Si x aparece multiplicando, entonces se multiplican ambos lados de la ecuación por su número recíproco. Si x es un exponente en una ecuación exponencial, se aplica el logaritmo en una base adecuada a ambos lados de la ecuación. Si x es la base de una ecuación de potencia, se aplica la raíz correspondiente a ambos lados de la ecuación. Si x es el ángulo en una ecuación trigonométrica, se aplica la función trigonométrica inversa a ambos lados de la ecuación.
Métodos numéricos
En ecuaciones más complicadas, los métodos simples de solución de ecuaciones puede ser no sean apropiados. En ciertos casos, se puede usar un algoritmo de búsqueda de raíces para encontrar la solución numérica a una ecuación, que en ciertos casos es más que suficiente para resolver algunos problemas.
Series de Taylor
Un área de la matemáticas se ha enfocado en la creación de alguna función más simple para aproximar a una función compleja, en las cercanías o entorno de un dado punto. En efecto, se pueden utilizar polinomios en una o varias variables para aproximar funciones - un ejemplo de estos polinomios son las series de Taylor.
En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas.
Funciones inversasPara el caso simple de una función de una variable, por ejemplo, h(x), se puede resolver una ecuación del tipo
h(x) = c, c constantesi se tiene en cuenta lo que se denomina la función inversa de h.
Dada una función h : A → B, la función inversa, identificada como h-1, se define como h-1 : B → A es una función tal que
h-1(h(x)) = h(h-1(x)) = x.Ahora, si se aplica la función inversa de ambos lados de la igualdad
h(x)=c, c constantese obtiene
h-1(h(x))=h-1(c)x = h-1(c)y se ha encontrado la solución de la ecuación. Sin embargo, dependiendo de la función, puede ser difícil definir la inversa, o puede que no sea una función en todo el conjunto B (solo por ejemplo en un subconjunto), y tener muchos valores para un dado punto.
EjemplosSi x aparece como sumando en la ecuación, se suma el término opuesto (con el signo cambiado) a ambos lados de la ecuación para obtener x. Si x aparece multiplicando, entonces se multiplican ambos lados de la ecuación por su número recíproco. Si x es un exponente en una ecuación exponencial, se aplica el logaritmo en una base adecuada a ambos lados de la ecuación. Si x es la base de una ecuación de potencia, se aplica la raíz correspondiente a ambos lados de la ecuación. Si x es el ángulo en una ecuación trigonométrica, se aplica la función trigonométrica inversa a ambos lados de la ecuación.
Métodos numéricosEn ecuaciones más complicadas, los métodos simples de solución de ecuaciones puede ser no sean apropiados. En ciertos casos, se puede usar un algoritmo de búsqueda de raíces para encontrar la solución numérica a una ecuación, que en ciertos casos es más que suficiente para resolver algunos problemas.
Series de TaylorUn área de la matemáticas se ha enfocado en la creación de alguna función más simple para aproximar a una función compleja, en las cercanías o entorno de un dado punto. En efecto, se pueden utilizar polinomios en una o varias variables para aproximar funciones - un ejemplo de estos polinomios son las series de Taylor.