Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo.Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.
La variable rrepresenta el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen
Donde conocemos las coordenadas del centro del círculo y las coordenadas de un punto dado que pasa por la circunferencia
Luego para encontrar la ecuación de la circunferencia solicitada debemos determinar su radio
Hallamos el radio del círculo
Siendo el radio cualquier recta que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualesquiera de la circunferencia
Tomamos para hallar el radio del círculo su centro y elpunto dado que pasa por la circunferencia y que por tanto pertenece a la misma y de los cuales conocemos sus coordenadas -ambos dados por enunciado-
Tomando entonces los puntos C (-6, 2) y P (3,0)
Empleamos la fórmula de la distancia entre los puntos para hallar el radio del círculo
La ecuación general de la circunferencia solicitada está dada por:
[tex]\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+12 x-4y -45 = 0 }}[/tex]
Solución
Ecuación ordinaria de la circunferencia
La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:
[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]
Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.
La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen
Donde conocemos las coordenadas del centro del círculo y las coordenadas de un punto dado que pasa por la circunferencia
Siendo el centro el punto:
[tex]\boxed{ \bold { C \ (-6,2) \ \ (h, k)} }[/tex]
Luego para encontrar la ecuación de la circunferencia solicitada debemos determinar su radio
Hallamos el radio del círculo
Siendo el radio cualquier recta que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualesquiera de la circunferencia
Tomamos para hallar el radio del círculo su centro y el punto dado que pasa por la circunferencia y que por tanto pertenece a la misma y de los cuales conocemos sus coordenadas -ambos dados por enunciado-
Tomando entonces los puntos C (-6, 2) y P (3,0)
Empleamos la fórmula de la distancia entre los puntos para hallar el radio del círculo
[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]
Reemplazamos los valores para [tex]\bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}[/tex]
[tex]\bold{C (-6.2) \to (x_{1} , y_{1} )}[/tex]
[tex]\bold{P (3,0) \to (x_{2} , y_{2} )}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(3-(-6) )^{2} +(0-2)^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { radio = \sqrt{(3+6 )^{2} +(0-2)^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { radio = \sqrt{9^{2} +(-2)^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { radio = \sqrt{81\ + \ 4 } } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { radio = \sqrt{ 85 } \ unidades } }[/tex]
[tex]\bold{radio\approx 9.22 \ unidades}[/tex]
El radio del círculo es igual a √85 unidades
Determinamos la ecuación ordinaria de la circunferencia
Reemplazando en la ecuación:
[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]
Los valores conocidos de (h, k) = C (-6,2) y radio = √85 unidades
[tex]\boxed{ \bold { (x+6)^2+(y-2)^2=\left(\sqrt{85}\right) ^{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { (x+6)^2+(y-2)^2= 85 }}[/tex]
Habiendo encontrado la ecuación ordinaria de la circunferencia solicitada
Determinamos la ecuación general de la circunferencia solicitada
La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:
Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia que hallamos previamente
[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]
Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado
Resultando en:
[tex]\large\boxed{\bold {x^2-2ax+ a^{2}+y^2 -2by+b^{2} = r^{2} }}[/tex]
Reagrupamos los términos del siguiente modo:
[tex]\large\boxed{\bold {x^2+y^2-2ax-2by+ a^{2} +b^{2} - r^{2} = 0 }}[/tex]
Considerando:
[tex]\bold {A = -2a }[/tex] [tex]\bold {B = -2b }[/tex] [tex]\bold {C = a^{2}+b^{2} -r^{2} }[/tex]
Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:
[tex]\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}[/tex]
Por tanto
Convertimos
[tex]\large\boxed{ \bold { (x+6)^2+(y-2)^2= 85 }}[/tex]
A la ecuación general de la circunferencia
[tex]\boxed{ \bold { x^{2} +12 x +36+ y^{2} -4y + 4 = 85 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { x^{2} +12 x +36+ y^{2} -4y + 4 - 85 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+12 x-4y +36 + 4 -85 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+12x-4y +40 -85 = 0 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+12 x-4y -45 = 0 }}[/tex]
Se encuentra el gráfico pedido en el archivo adjunto