Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones y=x^3 y y=2x-x^2. El área se expresa en unidades de superficie. Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.
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1) Determinar los puntos de corte entre las dos funciones:
Igualar las y de las funciones:
x^3 = -x^2 + 2x
x^3 + x^2 - 2x = 0
x1 = 0
x2 = 1
x3 = -2
Los puntos de corte entre las funciones son x1 = 0, x2 = 1 y x3 = -2.
2) Determinar el área que encierran estas curvas mediante integrales.
A1 = |∫[x^3 - (-x^2 + 2x)]dx| (Desde -2 hasta 0)
A2 = |∫(-x^2 + 2x - x^3)dx| (Desde 0 hasta 1)
El área total viene dada por:
At = A1 + A2
Calculando A1:
A1 = |∫[x^3 - (-x^2 + 2x)]dx|
A1 = |∫[x^3 + x^2 - 2x]dx|
A1 = |x^4/4 + x^3/3 - x^2| (Desde -2 hasta 0)
A1 = |[(-2)^4/4 + (-2)^3/3 - (-2)^2] - [(0)^4/4 + (0)^3/3 - (0)^2]|
A1 = |-8/3|
A1 = 8/3
Calculando A2:
A2 = |∫(-x^2 + 2x - x^3)dx|
A2 = |-x^3/3 + x^2 - x^4/4| (Desde 0 hasta 1)
A2 = |[-(1)^3/3 + (1)^2 - (1)^4/4] - [-(0)^3/3 + (0)^2 - (0)^4/4]|
A2 = |5/12|
A2 = 5/12
Calculando el área total se tiene que:
At = 8/3 + 5/12 = 37/12 u^2
El área de la región delimitada por las curvas es de 37/12 u^2