Question

Encuentra las coordenadas de un punto que equidista de P(0,1), Q(-6,9) y R(2,5).

La abscisa es:

La ordenada es:

Answer 1

La manera de proceder para calcular el punto que equidista (igual distancia) con los puntos P, Q y R es:


- Usar la ecuación de distancia entre dos puntos:


d = √ [ ( x2 - x1 )^2 + ( y2 - y1 )^2 ]


- Aplicar la ecuación con el punto a buscar y los 3 respectivos puntos


- Como se quiere que la distancia sea la misma para los 3 puntos, se igualan la ecuación de distancia de un punto, con la ecuación de distancia de otro punto. Para la distancia del punto restante, se iguala con cualquiera de las otras dos ecuaciones anteriores.


- Se tendrá un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x, y). Se resuelve y se tendrá la abscisa y la ordenada que equidista con los puntos P, Q y R.


dEP = √ [ (0 - x)^2 + (1 - y)^2 ] ⇒ dEP = √ [ x^2 + (1 - y)^2 ]


dEQ = √ [ (- 6 - x)^2 + (9 - y)^2 ] 


dER = √ [ (2 - x)^2 + (5 - y)^2]


Igualando las distancias:


dEP = dEQ


√ [ x^2 + (1 - y)^2 ] = √ [ ( - 6 - x )^2 + ( 9 - y )^2 ]


x^2 + (1 - y)^2 = ( - 6 - x )^2 + ( 9 - y )^2  ; elevación al cuadrado


x^2 + 1 - 2y + y^2 = 36 + 12x + x^2 + 81 - 18y + y^2 ; prod notables


1 - 2y = 117 + 12x - 18y ; suma algebraica


12x - 18y + 2y + 117 - 1 = 0  ; agrupación de términos


12x - 16y + 116 = 0    (1) 


dEQ = dER


√ [ ( -6 - x )^2 + ( 9 - y )^2 ] = √ [ ( 2 - x )^2 + ( 5 - y )^2 ] 


( - 6 - x )^2 + ( 9 - y )^2 = ( 2 - x )^2 + ( 5 - y )^2 ; elevación al cuadrado


36 + 12x + x^2 + 81 - 18y + y^2 = 4 - 4x + x^2 + 25 - 10y + y2 ; prod notables


117 + 12x - 18y = 29 - 4x - 10y ; suma algebraica


12x - 18y + 4x + 10y + 117 - 29 = 0 ; agrupación


16x - 8y + 88 = 0  (2)


Sistema de ecuaciones (1) y (2):


12x - 16y + 116 = 0 ⇒ x = ( 16y - 116 ) / (12) ⇒ x = ( 4y - 29 ) / 3


16x - 8y + 88 = 0 ⇒ x = ( 8y - 88 ) / (16) ⇒ x = ( y - 11 ) / 2


Igualando los despejes de las dos ecuaciones:


( 4y - 29 ) / 3 = ( y - 11 ) / 2 


2 * ( 4y - 29 ) = 3 * ( y - 11 ) ; denominadores pasando a multiplicar


8y - 58 = 3y - 33 ; prop distributiva


8y - 3y = 58 - 33 ; agrupación de términos semejantes


5y = 25 ; resta


y = 25 / 5


y = 5 


Sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones:


x = ( 5 - 11 ) / 2


x = ( - 6 ) / 2


x = - 3


Pto( - 3 ; 5 )


Comprobando:


√ [ (-3)^2 + ( 1 - 5 )^2 = √ [ ( - 6 + 3 )^2 + ( 9 - 5 )^2 ]


√ ( 9 + 16 ) = √ (9 + 16)  ; 


√ [ ( - 6 + 3 )^2 + ( 9 - 5 )^2 ] = √ [ ( 2 + 3 )^2 + ( 5 - 5 )^2 ]


√ (9 + 16) = √ 25


√25 = √25


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