Question

encuentra la ecuación de la circunferencia qué tiene su centro en el punto c(4,2) y su radio es igual a 4.​

Answer 1

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-4)^2+(y-2)^2=16 }}[/tex]

Expresada en la ecuación general de la circunferencia:

[tex]\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-8 x-4y +4= 0 }}[/tex]

 

Solución

Ecuación ordinaria de la circunferencia

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia

[tex]\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]

Los valores conocidos de (h, k) = C (4,2) y radio = 4

[tex]\boxed{ \bold { (x-4)^2+(y-2)^2=(4 )^{2} }}[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-4)^2+(y-2)^2=16 }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación ordinaria de la circunferencia

Ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Resultando en:

[tex]\large\boxed{\bold {x^2-2ax+ a^{2}+y^2 -2by+b^{2} = r^{2} }}[/tex]

Reagrupamos los términos del siguiente modo:

[tex]\large\boxed{\bold {x^2+y^2-2ax-2by+ a^{2} +b^{2} - r^{2} = 0 }}[/tex]

Considerando:

[tex]\bold {A = -2a }[/tex]         [tex]\bold {B = -2b }[/tex]        [tex]\bold {C = a^{2}+b^{2} -r^{2} }[/tex]      

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

[tex]\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}[/tex]

Convertimos

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-4)^2+(y-2)^2=16 }}[/tex]

A la ecuación general de la circunferencia

[tex]\boxed{ \bold { x^{2} -8 x +16+ y^{2} -4y + 4 = 16 }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { x^{2} -8 x +16+ y^{2} -4y + 4 -16 = 0 }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-8 x-4y +16 + 4 -16 = 0 }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-8 x-4y +20 -16= 0 }}[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-8 x-4y +4= 0 }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación general de la circunferencia

Se agrega gráfico