En una fiesta el encargado de servir las bebidas decide armar una pirámide de vasos de tal manera que al llenar por completo el primero, este comienza a llenar cuatro vasos que están en el piso de abajo y al llenar estos vasos se llenan 9 que a su vez llenan 16, etcétera. Determina el número de vasos que se llenaran para una pirámide de 7 pisos.
PD: Con operaciones por favor!
PD: Con operaciones por favor!
Términos: 1º 2º 3º 4º
Vasos: 1 4 9 16 ... etc
Diferencia 1: +3 +5 +7 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒ (primer orden)
Diferencia 2: +2 +2 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒(segundo orden)
Puede verse como una sucesión dentro de otra sucesión y en el segundo orden es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 2 entre dos términos consecutivos.
El ejercicio nos pide la cantidad de vasos que se llenarán en el piso más bajo de una pirámide de 7 pisos, por tanto nos está pidiendo el término nº 7 (a₇).
Obviamente no es un término muy alejado del primero y podría sacarse por tanteo simplemente añadiendo la cantidad correspondiente a cada piso de la pirámide pero está claro que el ejercicio persigue que se resuelva con las fórmulas de una sucesión.
Si has llegado a conocer este tipo de sucesiones debes saber que el término general (o enésimo,
... expresión que puede sonarte bastante al típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión cuadrática.
Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión en concreto hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos de lo que he escrito arriba.
Vasos = .........1 ... que llamaré C
Diferencia 1 = +3 ... que llamaré B
Diferencia 2 = +2 ... que llamaré A
Hay que acudir a esta expresión:
(no me preguntes de dónde sale porque hasta ahí no llego, algún cerebrito debió deducirla y es la que se usa para encontrar el término enésimo de cualquier sucesión cuadrática, toca memorizarla)
Ahora sólo hay que sustituir el valor de A, B, C, en esa expresión y resolver...
Si usamos ese término enésimo para calcular el que nos pide el ejercicio:
En el piso séptimo de la pirámide habrá 49 vasos.
Si la pregunta pide el total de vasos que se llenarán, hay que sumar el valor de todos los términos:
1+4+9+16+25+36+49 = 140 vasos.
Saludos.