En una fábrica de espejos, desean saber cuánto material necesitan para hacer un espejo decorativo con forma hexagonal, de modo que, deben calcular su perímetro y su área. Los vértices del espejo son los puntos A(2,0), B(5,2), C(5,5), D(2,7), E(−1,5) y F(−1,2). Considera que la unidad de medida son centímetros. a) ¿Cuál es perímetro del espejo? b) ¿Cuál es su área?
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Respuesta:
Área: 32 cm2 (cúbicos)
Perímetro: 20.40 cm
Explicación:
Tenemos que, considerando los vértices del hexágono formado por los puntos A(2,0), B(5,2), C(5,5), D(2,7), E(−1,5) y F(−1,2), obtendremos los siguientes resultados
El perímetro es de [tex]5\sqrt{13}[/tex]
El área es de [tex]\frac{7\sqrt{13} }{4}[/tex]
Planteamiento del problema
Vamos a tomar las coordenadas de los vértices del hexágono, para la cual vamos a graficar en un plano cartesiano, una vez graficado vamos a calcular usando la fórmula de distancia entre dos puntos, para obtener uno de sus lados
Luego vamos a buscar calcular el área y el perímetro con base en las siguientes fórmulas
Vamos a calcular uno de los lados para multiplicarlo por 6, dado que tiene 6 lados iguales, tendríamos entonces
[tex]d(AB) = \sqrt{(2-5)^2+(0-2)^2} = \sqrt{13}[/tex]
Por lo tanto, tenemos que el perímetro es [tex]P = 6\sqrt{13}[/tex]
Para obtener el área debemos calcular la apotema, buscamos primero el punto medio entre el punto A y D, tendríamos
[tex]P_m = (\frac{2+2}{2}, \frac{7+0}{2}) = (2, \frac{7}{2})[/tex]
Ahora, calculando la distancia entre el punto A y el punto medio, tendríamos la apotema
[tex]a =\sqrt{(2-2)^2+(\frac{7}{2}-0)^2 } = \frac{7}{2}[/tex]
Por lo tanto, calculando el área tendremos
[tex]A = \frac{6\sqrt{13}\frac{7}{2} }{2} = \frac{21\sqrt{13} }{2}[/tex]
Podemos ver la imagen del hexágono en la imagen al final
En consecuencia, considerando los vértices del hexágono formado por los puntos A(2,0), B(5,2), C(5,5), D(2,7), E(−1,5) y F(−1,2), obtendremos los siguientes resultados
El perímetro es de [tex]5\sqrt{13}[/tex]
El área es de [tex]\frac{7\sqrt{13} }{4}[/tex]
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