Question

En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido en miles de dolares viene dado por la expresión B(x)=0,5 x^2-4x+6 , siendo x la inversión en publicidad en miles de dolares y B es el beneficio obtenido.

*¿ Para que valores de la inversión la empresa tiene perdidas?.
*¿ Cuando tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?.
*¿ Cual es el beneficio si no se invierte nada en publicidad?¿ Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?

Answer 1

Se obtienen perdidas si x esta entre 2 y 6 (sin incluir) el mayor beneficio se obtiene cuando la inversión es igual a 4 ( en miles de dolares), si no se invierte en publicidad el beneficio es de 6 mil dolares y esto también ocurre si se invierte 8 mil dolares en publicidad

El beneficio de la empresa es:

B(x) = 0.5*x² - 4x + 6

"x" inversión

¿ Para que valores de la inversión la empresa tiene perdidas?.

Esto ocurre cuando la inversión es negativa:

0.5*x² - 4x + 6 < 0

x² - 8x + 12 < 0

(x - 2)*(x-6)  < 0

Veamos el signo

                         - ∞                2                    6                     ∞

( x - 2)                          -                       +                       +

(x - 6)                          -                       -                        +

(x-2)*(x-6)                   +                       -                        +

Para x ∈ (2,6): es decir inversión entre 2 y 6 (sin incluir) se obtenen pertidas

¿ Cuando tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?.

Derivamos la función e igualamos a cero: asi encontramos el m[aximo de la función

B'(x) = x - 4 = 0

x = 4

La segunda derivada

B''(x) = -4 < 0

Por criterio de la segunda deriva en un máximo, entonces para una inversión de x = 4 se obtiene el mayor beneficio posible

Si no se invierte en publicidad: entonces x = 0 y el beneficio es:

B(0) = 0.5*0² - 4*0 + 6 = 6

Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio: igualamos el beneficio a 6 y decimos que x es distinto de 0

B(x) = 6 = 0.5x² - 4x + 6

0.5x² - 4x = 0

x*(0.5x - 4) = 0

Como x ≠ 0

0.5*x - 4 = 0

0.5*x = 4

x = 4/0.5 = 8