En un almacén hay botellas de aceite de 5 y dos litros. En total hay 1.000 litros de aceite y 323 botellas cuantas botellas de cada tipo hay?
(El tema se llama sistema de ecuaciones 2x2)
(El tema se llama sistema de ecuaciones 2x2)
En el almacén se tienen 118 botellas de 5 litros de aceite y 205 botellas de 2 litros de aceite
Solución
Llamamos variable "x" a las botellas de aceite de 5 litros y variable "y" a las botellas de aceite de 2 litros
Donde sabemos que
El total de botellas que se tienen en el almacén es de 323
Donde sabemos que la cantidad total de aceite que se tiene es de 1000 litros
Teniendo botellas de 5 litros de capacidad
Teniendo botellas de 2 litros de capacidad
Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema
El sistema de ecuaciones:
Sumamos la cantidad de botellas de aceite de 5 litros y la cantidad de botellas de aceite de 2 litros para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de botellas que se tienen en el almacén
[tex]\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 323 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
Luego como en el almacén se tiene guardado el aceite en dos tipos de botellas de diferente capacidad sumamos las botellas de aceite de 5 litros y las botellas de aceite de 2 litros para plantear la segunda ecuación, y la igualamos a la cantidad total de litros de aceite que hay en el almacén
[tex]\large\boxed {\bold {5x \ + \ 2y = 1000 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
Luego
[tex]\large\boxed {\bold {x =323 -y }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones
Reemplazando
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {x =323 -y }}[/tex]
[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {5x \ + \ 2y = 1000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {5\ (323 -y) \ + \ 2y = 1000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {1615- 5y \ + \ 2y = 1000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {1615 \ - \ 3y = 1000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -3y = 1000-1615 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -3y = -615}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{-615}{-3} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = 205 }}[/tex]
Por lo tanto en el almacén se tienen 205 botellas de 2 litros de aceite
Hallamos la cantidad de botellas de 5 litros de aceite que se tienen en el almacén
Reemplazando el valor hallado de y en
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {x =323 -y }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {x =323-205 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {x =118 }}[/tex]
Luego en el almacén se tienen 118 botellas de 5 litros de aceite
Verificación
Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {x \ +\ y = 323\ botellas}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 118 \ botellas\ de \ 5\ L\ +\ 205 \ monedas\ de \ 2\ L\ = 323 \ botellas}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {323 \ botellas = 323 \ botellas }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {5x \ + \ 2y = 1000 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {5 \ litros \ . \ 118 \ botellas\ \ + \ 2 \ litros \ . \ 205 \ botellas\ = 1000 \ litros }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {590 \ litros \ + \ 410 \ litros \ =1000 \ litros \ }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 1000 \ litros = 1000 \ litros \ }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]