Question

El primer término de una progresión aritmética es 117; el último término es –30 y la suma de todos los términos es 2 175. ¿Cuántos términos tiene dicha progresión?

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Sea una sucesión cualquiera, formada por los elementos: 2, 5, 8, 11, ...

Cualquiera sería capaz de decirme, cual es el elemento siguiente. Seguro que me dirá que el número 14. Y el siguiente, el 17.

Vemos que si sumamos 3 al último número, encontramos el siguiente.

Lamamos a1 al número 2, que es el primer término; a2, al 5, que es el segundo término...

Si al segundo término le restamos el primero, encontramos el número 3 que es la clave para hallar los siguientes números.

Por lo tanto a2 - a1 = 3; a éste número le llamaremos diferencia. o tambien "d".

a1 a1= 2

a2= a1 + d a2= 2 + 3 = 5

a3= a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a3= 2 + 2.3 = 2 + 6 = 8

a4= a1 + 3d a4 = 2 +3.3 = 2 + 9 = 11

a5= a1 + 4d  

a9= a1 + 8d  

a157= a1 + 156d  

an= a1 + (n-1)d  

Esta fórmula es fundamental para hallar el último término de una progresión aritmética.

...oooOOOooo...

Vamos a averiguar otra fórmula fundamental: la de la suma.

Sean los elementos: 2, 5, 8, 11, 14; creo que la suma da 40. Por lo tanto podemos escribir:

40 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 o también

40 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

---------------------------------------- Por lo tanto, si sumamos miembro a miembro, resulta:

80 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16

Oh! que casualidad, siempre grupos de 16. Precisamente 5 grupos. Tantos como términos.

Vamos a hacerlo con letras:

S = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an

S= an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1

----------------------------------------------------------

2S = (a1+an) + (a2+an-1) + (a3+ an-2)+...+(an-2+a3) + (an-1+a2) + (an+a1)

Como que hay n grupos iguales, resulta:

2S = (a1+an) * n

S = (a1+an) * n / 2