Question

El grado del residuo ... es igual al grado del divisor
que pongo en el espacio: siempre , aveces o nunca?

Answer 1

Uhm volviendo a la primaria, evidentemente el grado del residuo es siempre uno menos que el grado del divisor, por lo tanto en el caso de tu pregunta , la respuesta seria..NUNCA

Answer 2

Por el algoritmo de la division entera el resto siempre esta entre 0 y M siendo M el divisor, ademas el resto nunca puede ser positivo. 
ahora por lo que tu dices, pues en el anillo d elos polinomios el algoritmo de la division tiene la misma funcion o muy parecida.
el polinomio resto puede tener grado nulo o siempre menor al grado del polinomio divisor, saludos.