Question

El area de un rombo es 243cm2. Si su diagonal mide 9cm ¿cuanto mide la otra diagonal?

plis de urgen

Answer 1

Llamaremos:
D : Diagonal Mayor
d : diagonal menor
L : Lado del rombo

Al trazar las diagonales vemos que quedan determinados 4 triángulos rectángulos iguales en los que:

cateto menor = d/2
Cateto Mayor = D/2
hipotenusa = L

De modo que aplicando Pitágoras tendremos:

L² = (D/2)² + (d/2)² → L² = (D² + d²) / 4 →

D² + d² - 4L² = 0 ... (1)
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Por otra parte, sabemos que el área "A" de un rombo se calcula como:
A = ½ . D . d

De donde:
d = (2A)/D ... (2)
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De (2) en (1) tendremos: D² + [(2A)/D]² - 4L² = 0 →
D² + [(4A²)/D²] - 4L² = 0 → D⁴ + (4A²) - 4L².D² = 0 →

D⁴ - (4L²).D² + (4A²) = 0 ... (3)
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(3) es una ecuación cuadrática en términos de "D²" que podemos resolver aplicando la resolvente, es decir:

[-b ± √(b² - 4.a.c)] / (2.a)

obteniendo:

D² = 2L² ± 2.√(L⁴ - A²) ... (4)

Los valores que intervienen en (4), o sea: "L" y "A" son los datos de nuestro problema, por lo que obtendremos dos valores para "D²": con el signo "+" tendremos el cuadrado de la diagonal mayor (D²) y con el signo "-" tendremos el cuadrado de la diagonal menor (d²). Es decir:

D² = 2L² + 2.√(L⁴ - A²)
d² = 2L² - 2.√(L⁴ - A²)
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Efectuando ambas cuentas y tomando las raices cuadradas resultarán:

D = 28,92
d = 21,44