Question

Tengo este problema de geometría, ABCD es un cuadrado, y H, J, K, I, son los puntos medios de sus lado como en la figura y PQRS es un cuadrado. Determinar el coeficiente de de:

(el área de PQRS)/(el área de ABCD)

Gracias por la ayuda. realmente no se como resolverlo

Answer 1

Lo que yo haría sería, calcular el área del cuadrado externo, si tomo cada lado como x, el Área exterior sería x^2
Luego, tomaría un triángulo formado (Figura 2) y le hallaría el área
en este caso sería A=B*h/2--->A=(x/2)(x)/2=(x^2)/4
Luego, sumaería los 4 triángulos internos.
es decir
4A=4((x^2)/4)=(x^2)
Si notas, el resultado es igual al del área del cuadrado ABCD.
Esto es porque sumas 2 veces el área pintada en azul (figura 3)
Es decir, debes hallar el área de estos, y restarselo a cada triángulo grande.
para hallar uno, pues tienes un lado, y el valor de α
α=arctan(1/2)
α=26,565051º
ahora hallas el valor de un lado, en este caso, hallaré v,
para esto, pues me valgo de la trigonometría
Cosα=(v/(x/2))
(v lado adyacente, x/2 hipotenusa)
Cos(26,565051º)=v/(x/2)
0,894427*(x/2)=v
v=0,447213x

Con esto, subdivides este para hallar la altura (figura 4), lo calculo con el triángulo amarillo
tanα=(h/(x/2))
tan(26,565051º)=h/(x/2)
1/2=h/(x/2)
1/2*(x/2)=h
h=x/4

Ahora, regresas a calcular el area del triángulo azul(fig 3)
ya tienes la base=x/2, y la altura=x/4
A=B*h/2
A=((x/2)*(x/4))/2
A=(x^2)/16

Ahora sumas los 4 triángulos azules
4A=4((x^2)/16)
4A=(x^2)/4

Ahora le restas estos 4 pequeños((x^2)/4), a la suma de los 4 triángulos grandes(x^2).
A=(x^2)-((x^2)/4)
A=3(x^2)/4

Aquí ya tienes el área del exterior del cuadrado, como nececitas el área interna, entonces,
le restas al áreea del cuadrado grande, el área que nos acabó de dar.
A=(x^2)-(3(x^2)/4)
A=(x^2)/4

El cofactor que buscas, lo llamaré k
el área de PQRS=A2
el área de ABCD=1

es decir A2 =(x^2)/4
y A1= (x^2)

k=A2/A1
k=((x^2)/4)/(x^2)
k=1/4

Esto significa que el área del cuadrado inscrito, tiene 1/4 de área del cuadrado grande.