El arco de un puente es semielíptico, con eje mayor horizontal. La base del arco es de 70 pies de diámetro y la parte más alta del arco está 20 pies arriba de la horizontal, como se ve en la figura. Encuentre la altura del arco a 10 pies del centro de la base y la ecuación que describe el arco del puente.
La altura del arco del puente a 10 pies del centro de la base es de 19.17 pies
La ecuación que describe el arco del puente está dada por:
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac {x ^{2} }{1225 } + \frac{y^{2} }{400} = 1 }}[/tex]
Se tiene el arco de un puente semielíptico, cuya base mide 70 pies de diámetro y donde la parte más alta de este se encuentra a 20 pies de altura, por lo tanto su altura máxima es de 20 pies
Se pide calcular su altura a 10 pies del centro de la base
Solución
Ubicamos el puente con forma semielíptica en el plano cartesiano de la siguiente manera:
Hacemos coincidir su centro en el origen de coordenadas, por lo tanto su altura máxima, que es de 20 pies se encontrará sobre el eje Y
Y su base de 70 pies se ubicará sobre el eje X. El cual sería el eje mayor
Donde
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal está dada por:
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{(x - x_{0})^{2} }{a^{2} } + \frac{(y - y_{0})^{2} }{b^{2} } = 1 }}[/tex]
Donde
[tex]\bold{ x_{0}, y_{0}} \ \ \ \ \large\textsf{Coordenadas x e y del centro }[/tex]
[tex]\bold{ a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Semieje de abscisas }[/tex]
[tex]\bold{ b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Semieje de ordenadas }[/tex]
Por lo tanto el centro del puente se encuentra en el origen
[tex]\boxed { \bold{ C(0, 0) \ \ \ \ \ \ \to h= 0 \ , \ k= 0 } }[/tex]
Sabemos que
El eje mayor o principal es el segmento cuya longitud es 2a
El cual coincide con el ancho o base del puente sobre el eje X o el de las abscisas
Hallamos el semieje mayor
Que es el segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a
Dado que conocemos que el eje mayor horizontal (2a) mide 70 pies
Planteamos
[tex]\boxed { \bold{ 2a = 70 \ pies }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold{ a = \frac{70}{2} \ pies }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold{ a = 35 \ pies }}[/tex]
Buscamos el semieje menor
El cual es el segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b
Siendo una semielipse la magnitud de b resulta ser la altura máxima del arco del puente, la cual mide 20 pies
[tex]\large\boxed { \bold{ b = 20 \ pies }}[/tex]
Empleamos la forma de la ecuación canónica de una elipse
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{(x - x_{0})^{2} }{a^{2} } + \frac{(y - y_{0})^{2} }{b^{2} } = 1 }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold{ C(0, 0) \ \ \ \ \ \ \to h= 0 \ , \ k= 0 } }[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazando }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{(x - x_{0})^{2} }{a^{2} } + \frac{(y - y_{0})^{2} }{b^{2} } = 1 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{(x -0)^{2} }{35^{2} } + \frac{(y - 0)^{2} }{20^{2} } = 1 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{x^{2} }{35^{2} } + \frac{y^{2} }{20^{2} } = 1 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac {x ^{2} }{1225 } + \frac{y^{2} }{400} = 1 }}[/tex]
Calculamos la altura a 10 pies del centro
Evaluamos la ecuación para x = 10
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\textsf{Quitamos las unidades temporalmente sabiendo que son pies }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac {10 ^{2} }{1225 } + \frac{y^{2} }{400} = 1 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac {100 }{1225 } + \frac{y^{2} }{400} = 1 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{y^{2} }{400} = 1 - \frac {100 }{1225 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{y^{2} }{400} = 1 - \frac {\not25\ . \ 4 }{\not25 \ . \ 49 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{y^{2} }{400} = 1 - \frac { 4 }{ 49 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{y^{2} }{400} = \frac{49}{49} - \frac {4 }{49 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{y^{2} }{400} = \frac{45}{49} }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ y^{2} =400 \ . \ \frac{45}{49} }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ y^{2} = \frac{18000}{49} }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ y =\pm \sqrt{ \frac{18000}{49} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ y =\pm \frac{ \sqrt{18000} }{\sqrt{49} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ y =\pm \frac{ \sqrt{3600 \ . \ 5} }{\sqrt{49} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ y =\pm \frac{ \sqrt{60^{2} \ . \ 5 } }{\sqrt{49} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ y = \frac{60\sqrt{5} }{7} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ y = 19.16629 \ , - 19.16629 }}[/tex]
Tomamos la solución positiva por tratarse de una medida de longitud
[tex]\large\boxed{ \bold{ y = 19.17 \ pies }}[/tex]
La altura del arco del puente a 10 pies del centro de la base es de 19.17 pies
Se agrega gráfico