Galeri Soal

47 Soal dengan Pembahasan, 46 Soal Latihan

Dirangkum Oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

Januari 2013

Email : [email protected]

MatikZone’s Series

Blog : www.matikzone.wordpress.com

HP : 085 233 897 897

© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…

Soal-soal Statistika dan Pembahasannya. 1.

Buatlah statistik terurut dari data berikut, kemudian tentukan datum terkecil dan datum terbesarnya. Data: 12 32 45 21 25 16 17 30 33 15 35 38 40 12 23 14 Jawab: Statistik terurut: 12 12 14 15 16 17 21 23 25 30 32 33 35 38 40 45 Diperoleh ukuran data / banyaknya datum (n) = 16 Datum terkecil = x1 = x min = 12 dan datum terbesar = x n = xmax = 45

2.

Hitunglah rataan dari data: 1 2 3 4 5 Jawab: n

Rumus rataan data tunggal adalah: x =

∑x i =1

n

i

=

x1 + x 2 + ... + xn dengan n

∑x

i

=

Jumlah datum dan n = banyaknya datum. Jadi, rataan data tersebut adalah: x = 3.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 15 = =3 5 5

Jika rataan dari data: 5, 6, 4, 7, 8, 2, p, 6, dan 3 adalah 5, maka nilai p adalah … Jawab:

5 + 6 + 4 + 7 +8 + 2 + p + 6 +3 41 + p ⇒ 5= =3 5 9 ⇒ 45 = 41 + p ⇒ p=4 Jadi nilai p = 4 x=

4.

Jika data 2, a, a, 3, 4, 6 mempunyai rataan c dan data 2, c, c, 4, 6, 2, 1 mempunyai rataan 2a, maka nilai c adalah … Jawab:

2 + a + a + 3+ 4 + 6 = c ⇒ 2a + 15 = 6c ...........................................(1) 6 2 + c + c + 4 + 6 + 2 +1 2 c + 15 x2 = = 2a ⇒ 2c + 15 = 14 a ⇒a= ............(2) 7 14 x1 =

Subtitusi (2) ke (1) Statistika

www.matikzone.wordpress.com

2c + 15 + 105  2c + 15  2 = 6c  + 15 = 6c ⇒ 7  14  ⇒ 2c + 120 = 42c ⇒ 40c = 120 ⇒ c=3 Jadi, nilai c adalah 3. 5.

Rata-rata ulangan matematika dari 40 anak adalah 5, 1. Jika seorang siswa tidak disertakan dalam perhitungan, maka nilai rata-ratanya menjadi 5, 0. Nilai siswa tersebut adalah… Jawab: n

x=

∑x i =1

i

, misalkan nilai siswa tersebut adalah p maka

n

40(5,1) − p ⇒ 5,0(39 ) = 40(5,1) − p 40 − 1 ⇒ 195 = 204 − p ⇒ p = 204 − 195 = 9

5,0 =

Jadi, nilai siswa tersebut adalah 9, 0. 6.

Hasil ulangan matematika kelas A jika dijumlahkan semuanya hasilya adalah 2718. Jika rata-rata nilai mereka adalah 75,5 maka berapakah jumlah siswa dalam kelas A? Jawab: n

x=

∑x

i

i =1

n

⇒ 75,5 =

2178 2178 ⇒n= = 36 n 75,5

Jadi, banyaknya siswa adalah 36. 7.

Nilai rata-rata ujian Matematika dari 43 siswa adalah 56. Jika nilai ujian 2 siswa, yaitu Toni dan Tono digabungkan, nilai rata-rata menjadi 55. Jika nilai Toni 25, berapakah nilai Tono? Jawab: Diketahui: x gab = 55 , n 1 = 43 , n 2 = 2 , dan x 1 = 56

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

x gab =

n1 x1 + n2 x 2 43 ⋅ 56 + n 2 x 2 ⇒ 55 = ⇒ 55 ⋅ 45 = 43 ⋅ 56 + n2 x 2 n1 + n2 43 + 2 ⇒ 2475 = 2408 + n2 x 2 ⇒ n 2 x 2 = 2475 − 2408 = 67

n 2 x 2 = Ntoni + Ntono ⇒ 67 = 25 + Ntono ⇒ Ntono = 67 − 25 = 42

Jadi, nilai Tono adalah 42 8.

Rataan ulangan harian Matematika kelas A adalah 75 dan kelas B adalah 80. Jika kelas A terdiri 20 anak dan kelas B 30 anak. Tentukan nilai rataan jika nilai mereka digabung! Jawab:

n1 = 20 n 2 = 30 x 1 = 75 dan x 2 = 80

x gab = 9.

20.75 + 30.80 1500 + 2400 3900 = = = 78 20 + 30 50 50

Rata-rata umur Guru dan Dokter adalah 40 tahun. Jika rata-rata umur guru adalah 35 dan rata-rata umur dokter adalah 50. Berapakah perbandingan banyak guru dan banyak dokter? Jawab: Diketahui: x gab = 40 , x g = 35 , dan x d = 50 x gab =

ng x g + nd xd ng + nd

⇒ 40 =

35n g + 50 nd n g + nd

⇒ 5n g = 10n d atau

ng nd

=

⇒ 40n g + 40nd = 35n g + 50n d ⇒ n g = 2nd

2 1

Jadi, perbandingan banyak guru dan banyak dokter adalah 2 : 1 10.

Suatu data mempunyai rataan 76. Jika masing- masing datum dikalikan 2 kemudian ditambah 3, maka nilai rataannya menjadi... Jawab: Jika suatu data, setiap datumnya dikalikan dengan a dan ditambah dengan b, maka Rataan baru: x B = a ⋅ x + b , dimana x = Rataan lama

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

Sehingga x B = a ⋅ x + b = 2 ⋅ 76 + 3 = 155 Jadi, rataan yang baru adalah 155. 11.

Tentukan rata-rata dari data berikut: Nilai

( xi )

2 3 4

fi 2 4 3

Jawab: n

Rataan Data Tunggal Berfrekuensi x =

∑f x i =1 n

i

∑f i =1

i

dengan x i = datum ke- i dan f i = i

frekuensi datum ke-i. Untuk soal di atas: Nilai

( xi )

2 3 4

Σ 12.

fi

f i xi

2 4 3 9

4 12 12 28

x=

28 = 3,1 9

Rataan dari data di bawah adalah…. Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2

Jawab: Cara 1: n

Rumus Rataan Data Berkelompok adalah x =

∑f x i =1 n

i

∑f i =1

i

, dengan x i = nilai tengah kelas i

ke-i

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

Untuk soal di atas: Kelas

fi

xi

f i xi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2 20

3 8 13 18 -

9 40 130 36 215

Σ

x=

215 = 10 ,75 20

Cara 2: n

Rumus Rataan Data Berkelompok dengan Rataan Sementara adalah x = x s +

∑fd i =1 n

i

∑f i =1

i

i

, dengan x s = rataan sementara dan d i = selisih x i dengan x s . Untuk soal di atas: Kelas

fi

xi

di = xi − xs

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2 20

3 8 13 18 -

– 10 –5 0 5 -

fi d i

Σ x s = rataan sementara dipilih 13

–30 –25 0 10 –45

− 45 20 = 13 − 2 , 25 = 10 ,75

x = 13 +

Rataan sementara dipilih dari kelas dengan frekuensi tertinggi, meski boleh memilih yang lainnya. Cara 3:

 n  ∑ f iu i Rumus Rataan Data Berkelompok dengan Pengkodean adalah x = x s +  i=1n   ∑ fi  i =1 dengan u i = Kode kelas ke- i dan p = panjang kelas.

  p ,   

Untuk soal di atas: Kelas

fi

xi

ui

f i ui

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2 20

3 8 13 18 -

–2 –1 0 1 -

–6 –5 0 2 –9

Σ

Statistika

−9  x = 13 +  ⋅5  20  = 13 − 2,25 = 10,75

www.matikzone.wordpress.com

Ket: Kelas yang dipilih diberi kode 0. Kelas sebelumnya –1, –2 dst. Kelas sesudahnya 1, 2, dst. Sesuai banyak kelas. 13.

Histogram di bawah menunjukkan data nilai ulangan Matematika sejumlah siswa. Tentukan rataan dari data tersebut! F 6 5 4 3 2 1 60,5

65,5

70,5

75,5

80,5 85,5 Nilai

Jawab: Data tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk tabel berikut Nilai 61 – 65 66 – 70 71 – 75 76 – 80 81 – 85

Frekuensi 2 1 4 2 6

Menentukan rata-rata Nilai Frekuensi

x=

61 – 65 66 – 70 71 – 75 76 – 80 81 – 85

2 1 4 2 6

Jumlah

15

xi 63 68 73 78 83 -

f i xi 126 68 292 156 498 1140

1140 = 76 15

Jadi rataan data tersebut adalah 76 14.

Rataan bagi suatu kumpulan data yang terdiri dari sepuluh bilangan ialah 7. Apabila ditambah (1 + 3m) dan (1 + 5m) kepada kumpulan data itu, rataan menjadi 10. Tentukan nilai m!

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

Jawab: Data pertama x1 = 7 dan n1 = 10 maka x1 =

∑x n

⇒7=

∑x 10

Data kedua (setelah penambahan) x2 = 10 dan n 2 = 12 maka x2 =

∑ x + (1 + 3m) + (1 + 5m) n2

⇒

10 =

⇒ ∑ x = 70

70 + (1 + 3m) + (1 + 5 m) 12

⇒ 70 + 2 + 8m = 120 ⇒ 8 m = 120 − 72 ⇒ ⇒

15.

8 m = 48 m=6

Tes Matematika diberikan kepada 3 kelas dengan jumlah siswa 100 orang. Nilai ratarata kelas pertama, kedua, dan ketiga adalah 8; 7,5; dan 7. Jika banyaknya siswa kelas pertama 30 orang dan kelas ketiga 6 orang lebih banyak daripada kelas kedua, tentukan nilai rata-rata seluruh siswa tersebut. Jawab: Diketahui x1 = 8 , x2 = 7,5 , x 3 = 7 , dan n1 = 30 . Misalkan n 2 = p maka n3 = p + 6 dimana n 2 + n3 = p + p + 6 ⇒ 100 − 30 = 2 p + 6 ⇒ 70 = 2 p + 6 ⇒

x gab =

sehingga diperoleh n 2 = 32 dan n3 = 38

p = 32

n1 x1 + n2 x 2 + n3 x 3 30 ⋅ 8 + 32 ⋅ 7,5 + 38 ⋅ 7 ⇒ x gab = n1 + n2 + n3 30 + 32 + 38 240 + 240 + 266 ⇒ = 100 746 ⇒ = 100 ⇒ = 7,46

Jadi, rata-rata nilai seluruh siswa adalah 7, 46. 16.

Perbandingan jumlah buruh tetap dan buruh tidak tetap di suatu pabrik adalah 3 : 7. Jika penghasilan rata-rata (per tahun) buruh tak tetap Rp 2,5 juta dan buruh tetap Rp 4,0 juta, tentukan rata-rata penghasilan tahunan dari kedua kelompok buruh tersebut. Jawab: Misalkan a = jumlah buruh tetap dan b = jumlah buruh tak tetap maka a : b = 3 : 7 atau

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

3b = 7 a ⇒ b =

x gab =

7a 3

a x1 + b x 2 a ⋅ 4 + b ⋅ 2 ,5 ⇒ x gab = a+b a+b  7a  4 a + 2,5   3  ⇒ = 7a a+ 3 12a + 2,5(7 a ) ⇒ = 3a + 7 a 29,5a ⇒ = 10a ⇒ = 2,95

Jadi, rata-rata penghasilan seluruh buruh adalah 2,95 juta. 17.

Angka-angka 8, 3, p, 3, 4, 10, q, 4, 12 memiliki mean = 6. Hitunglah nilai p + q, kemudian tentukan rata-rata p dan q. Jawab: 8 + 3 + p + 3 + 4 + 10 + q + 4 + 12 44 + p + q x= ⇒ 6= 9 9 ⇒ 54 = 44 + p + q ⇒ p + q = 54 − 44 = 10 Jadi, p + q = 10 dan rata-rata p dan q adalah 10 = 5 . 2

18.

Mean dari data −

1 2 1 1 1 , , − , 1, , 2 adalah…. 2 n n n n n

Jawab: x=

19.

−

1 2 1 1 1 2 + + − +1+ + 2 +1 2 n+ 2 n n n n =n n = 6 6 6n

Nilai rataan hitung ujian Fisika kelas XI A1 yang terdiri atas 39 orang adalah 60. Jika seorang siswa mengikuti ujian susulan, berapakah nilai yang harus diperoleh siswa tersebut agar nilai rataan hitungnya naik 0,25? Jawab: Data pertama: x1 = 60 dan n1 = 39 maka x1 =

∑x n

⇒ 60 =

∑x 39

⇒ ∑ x = 2340

Data kedua (setelah ada susulan): x2 = 60,25 (rataan naik 0,25) dan n 2 = 39 + 1 = 40 . Misalkan x S adalah nilai susulan, maka

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

x2 =

∑x + x

S

n2

⇒ 60 ,25 =

2340 + xS 40

⇒ 2410 = 2340 + xS ⇒ ⇒

x S = 2410 − 2340 x S = 70

Jadi, nilai siswa tersebut haruslah 70. 20.

Rataan nilai ujian matematika dari suatu kelas adalah 6,9. Jika dua siswa baru yang nilainya 4 dan 6 digabungkan dengan kelompok tersebut, maka rataannya menjadi 6,8. Berapa banyaknya siswa kelas semula?

Jawab: Misalkan banyak siswa kelas semula adalah n, kita peroleh: 6,9 =

∑x n

⇒

∑ x = 6,9n

Setelah 2 siswa baru digabung, jumlah siswa sekarang adalah n + 2 dengan rataan = 6,8. Diperoleh persamaan:

∑ x + 4 + 6 = 6,8 n+ 2

⇒

∑ x + 10 = 6,8(n + 2)

⇒ 6,9 n + 10 = 6,8n + 13,6 ⇒ 6,9 n − 6,8 n = 13 ,6 − 10 ⇒ ⇒

0,1n = 3,6 3,6 n= = 36 0,1

Jadi, banyak siswa semula adalah 36 orang. 21.

Tentukan median dari data berikut: a). 1 1 2 3 3 4 5 6 b). 1 2 3 3 4 5 6 Jawab: ; n ganjil  x n+1  2 Rumus Median Data Tunggal adalah M e =  1     x n + x n +1  ; n genap  2  2 2  Median data 1 1 2 3 3 4 5 6 dengan n = 8 (genap) adalah  1 1 1 M e =  x n + x n  = ( x 4 + x5 ) = (3 + 3) = 3 +1 2 2 2 2 2  Median data 1 2 3 3 4 5 6 dengan n = 7 (ganjil) adalah M e = x n+1 = x 7+1 = x 4 = 3 2

Statistika

2

www.matikzone.wordpress.com

22.

Tentukan median dari data berikut: Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2

Jawab: Data Berkelompok  1 n − Fk   M e = tb + p ⋅  2  f   Ket: tb = tepi bawah kelas Me ½ n = letak Me Fk = Frek.Kumulatif kelas sebelum kelas Me f = frekuensi kelas Me

23.

Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2 20

Σ

Fk 3 8 18 20

(Me )

 10 − 8  M e = 10,5 + 5   10  = 10,5 +1 = 11,5

-

Letak Me adalah datum ke

1 1 n = .20 = 10 . Datum 2 2

ke-10 pada kelas 11 – 15.

Tentukan modus dari data berikut: a). Data: 1 2 3 3 4 5 b). Data: 1 2 3 3 4 4 5 c). Data: 1 2 3 4 5 6 Jawab: Modus (nilai yang sering muncul) data tunggal dicari dari datum yang mempunyai frekuensi paling tinggi. a). Data: 1 2 3 3 4 5 à Mo = 3 b). Data: 1 2 3 3 4 4 5 à M o = 3 dan 4 c). Data: 1 2 3 4 5 6 à M o tidak ada

24.

Tentukan modus dari data berikut:

Statistika

Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2

www.matikzone.wordpress.com

Jawab: Data Berkelompok  d1   M o = tb + p ⋅  d + d  1 2  Ket: d1 = selisih frekuensi kelas Mo dg kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas Mo dg kelas sesudahnya

25.

Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2

Σ

25  5  M o = 10,5 + 5 = 12,6  = 10,5 + 12 5 +8 

Tentukan nilai kuartil bawah dan kuartil atas dari data berikut: 1 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 9 9 9 Jawab: Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi 4 bagian sama banyak. Q1 = kuartil bawah, Q2 = luartil tengah, dan Q3 = kuartil atas.

Untuk Data Tunggal: Q1 = x n+1 , n ganjil 4

Data: 1 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 9 9 9, n = 17 Q1 = x17+1 = x18 = x 4, 5 = x 4 + 0,5( x 5 − x 4 ) 4

Q1 = x n+ 2 , n genap 4

Q2 = M e Q3 = x 3( n+1) , n ganjil 4

Q3 = x 3n +2 , n genap 4

26.

4

Q3 = x 3(17+1) = x 45 4

= 3 + 0,5(4 − 3) = 3,5 = x11, 25 = x11 + 0,25( x12 − x11 )

4

= 7 + 0,25(8 − 7 ) = 7,25 Untuk n kecil, bisa mencari nilai kuartil dengan cara penunjukkan langsung.

Tentukan nilai kuartil atas data berikut:

Statistika

Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2

www.matikzone.wordpress.com

Jawab: Kuartil Data Berkelompok i   n − Fk   Qi = tb + p ⋅  4 f       Ket:

Kelas

fi

Fk

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2 20

3 8 18 20 -

Σ

 15 − 8  Q3 = 10,5 + 5   10  = 10,5 + 1,5 = 12

i n = letak Qi , Fk = 4 Frekuensi Kumulatif kelas sebelum kelas Qi , dan f = frekuensi kelas Qi Qi = kuartil ke- i ( i = 1, 2, 3), tb = tepi bawah kelas Qi,

27.

Carilah nilai desil ke-8 dari data berikut: 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 9 9 9. Jawab: Desil adalah nilai yang membagi data menjadi 10 sama banyak. Ada 9 nilai desil dalam suatu data, yaitu D1 sampai D9 . Desil Data Tunggal: Di = x i (n+1)

Data: n = 20 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 9 9 9

D8 = x 8(20+1) = x161 = x16,1 = x16 + 0,1( x17 − x16 )

10

10

28.

10

= 8 + 0,1(9 − 8) = 8,1

Tentukan nilai desil ke-2 dari data berikut: Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2

Jawab: Desil Data Berkelompok  i   n − Fk   Di = tb + p ⋅  10  f      i n = letak Desil ke- i 10

Statistika

Kelas

fi

Fk

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2 20

3 8 18 20 -

Σ

 4 −1  D2 = 5,5 + 5   5  = 5,5 + 3 = 7,5

www.matikzone.wordpress.com

29.

Tentukan nilai persentil ke-25 dari data berikut: Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30

25 45 50 85 45 30

Jawab: Persentil Data Tunggal: Pi = x i (n+1) 100

Persentil Data Berkelompok  i  n − Fk    Pi = tb + p ⋅  100  f      i n = letak Persentil ke- i 100

30.

Kelas

fi

Fk

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30

25 40 55 85 45 30 280

25 65 120 205 250 280 -

Σ

Letak P25 adalah

 70 − 65  P25 = 10,5 + 5   55  5 = 10,5 + 11 = 10,95

25 .280 = 70 (datum ke 70) 100

Jangkauan data: 6 8 2 2 3 9 5 4 5 5 4 6 1 7 8 2 9 3 9 9 adalah … Jawab: J = x n − x1 = xmax − x min , dimana x n = datum terbesar dan x1 = datum terkecil Data terurut: 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 9 9 9 J = x 20 − x1 = 9 − 1 = 8

31.

Carilah nilai Hamparan (H) dan Simpangan Kuartil (Sk) untuk data: 1 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 9 9 9. Jawab:

1 H 2 Dari data: 1 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 9 9 9 diperoleh Q1 = 3,5 dan Q3 = 7,25 1 Sehingga: H = 7, 25 − 3,5 = 3,75 dan Qd = .3,75 = 1,88 2 Untuk Data Tunggal: H = Q3 − Q1 dan Qd =

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

32.

Tentukan Hamparan dan Simpangan Kuartil data di bawah. Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2

Jawab: Kelas

fi

Fk

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2 20

3 8 18 20 -

Σ

33.

Dari data diperoleh Q1 = 7,5 dan Q3 = 12 maka 1 H = 12 − 7,5 = 4,5 dan Qd = .4,5 = 2,25 2

Dari data pada soal no. 31, tentukanlah nilai langkah (L), pagar dalam (PD), dan pagar luar (PL). Jika ada, tentukanlah pencilannya. Jawab: Rumus: 3 3 L = H = (Q3 − Q1 ) 2 2 PD = Q1 − L PL = Q3 + L Biasa digunakan untuk melihat ada tidaknya pencilan dalam suatu data. Dari data: 1 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 9 9 9 9, diperoleh Q1 = 3,5 , Q3 = 7,25 dan H = 7, 25 − 3,5 = 3,75 (lihat soal sebelumnya) Maka 3 L = .3,75 = 5,63 2 PD = 3,5 − 5,63 = −2,13 PL = 7,25 + 5,63 = 12,88 Datum yang kurang dari PD atau lebih dari PL disebut Pencilan. Untuk data di atas, tidak mempunyai pencilan.

34.

Data: 1 2 3 4 5 mempunyai simpangan rata-rata = ... Jawab:

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

n

Rumus Simpangan rata-rata data tunggal: SR =

∑x i =1

−x

i

n

Data: 1 2 3 4 5 mempunyai rataan = 3 1−3 + 2 − 3 + 3− 3 + 4 −3 + 5 −3 SR = 5 2 +1 + 0 + 1+ 2 6 = = 5 5 35.

Tentukan simpangan rata-rata dari data Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2

Jawab: n

Rumus simpangan rata-rata data berkelompok: SR =

∑f i =1

i

xi − x

n

∑f i =1

i

Berdasarkan data di atas, diperoleh: Kelas

fi

xi

f i xi

xi − x

f i xi − x

1–5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2 20

3 8 13 18 -

9 40 130 36 215

– 7,75 – 2,75 2,25 7,25 -

– 23,25 – 13,75 22,50 14,50 0

Σ

36.

x = 10 ,75

SR =

0 =0 20

Tentukan ragam (R) dan simpangan baku (S) dari data: 1 2 3 4 5 Jawab: Rumus Ragam dan Simpangan baku data tunggal:

∑ (x n

R=

i =1

−x

i

n

)

∑ (x n

2

dan S =

i

−x

i =1

)

2

n

Data: 1 2 3 4 5 , mempunyai rataan = 3 sehingga 2 2 2 2 2 ( 1 − 3) + (2 − 3) + (3 − 3) + (4 − 3) + (5 − 3) R= 5 4 + 1 + 0 + 1 + 4 10 = = =2 5 5 S= 2 Statistika

www.matikzone.wordpress.com

37.

Ragam dan simpangan baku data di bawah adalah… Kelas

fi

1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

3 5 10 2

Jawab: Rumus Ragam dan Simpangan baku data berkelompok:

∑ ( n

R=

i =1

f i xi − x

)

i =1

i =1

dan S =

n

∑

∑ f (x n

2

i

i

−x

)

2

n

∑f

fi

i =1

i

Dari data, diperoleh Kelas 1– 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

Σ

R= 38.

fi

xi

3 5 10 2 20

3 8 13 18 -

(x

)

f i xi − x

60,06 7,56 5,06 52,56 -

180,18 37,80 50,60 105,12 373,7

i

−x

2

(

)

2

x = 10 ,75

373,7 = 18,685 dan S = 18,685 20

Buatlah table distribusi frekuensi data berikut: 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 5 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9 9 10 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 18. Jawab: Untuk menentukan panjang kelas dan banyaknya kelas, digunakan rumus: J x − x1 Banyak kelas k = 1 + 3,3 logn dan Panjang kelas p = = n k k Nilai k dan p yang didapat dari rumus adalah nilai kisaran. Nilai pastinya menyesuaikan dengan keadaan data. Silakan cek dengan mengganti datum terbesar dengan 20. Sehingga data menjadi: 1 1 1 ...... 17 18 20. Apakah yang terjadi? Data: 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 5 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9 9 10 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18 18 Mempunyai ukuran data n = 40

k = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 3,3 ⋅ 1,602 = 1 + 5, 29 = 6,29 ≈ 6

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

p=

18 − 1 17 = = 2,83 ≈ 3 6 6

Jadi kita peroleh interval kelas kelas: 1 – 3, 4 – 6, 7 – 9, 10 – 12, 13 – 15, 16 – 18, dan 19 – 21. Diperoleh tabel distribusi frekuensi, sbb: Interval Kelas 1–3 4–6 7–9 10 – 12 13 – 15 16 – 18 Σ 39.

Frekuensi 12 7 9 4 4 4 40

Suatu data mempunyai simpangan baku S = 2 . Jika masing- masing datum dikalikan 3 kemudian dikurangi 5, maka simpangan baku menjadi .... Jawab: Jika suatu data, setiap datumnya dikalikan dengan a dan ditambah dengan b, maka Simpangan baku baru: S B = a ⋅ S , dimana S = Simpangan baku lama

Jadi, S B = 3 ⋅ S = 3 2 40.

Tentukan statistik 5 serangkai dari data berikut: 7, 5, 10, 20, 13, 8, 2. Jawab: Statistik 5 serangkai adalah: x1 , xn , Q1 , Q2 , dan Q3 Data terurut: 2 5 7 8 10 13 20 Diperoleh: x1 = 2, xn = 20, Q1 = 5, Q2 = 8, dan Q3 = 13

41.

Diberikan angka-angka n − 4, n − 2, n + 1, n + 2, n + 4, dan n + 5 . Tentukan simpangan baku dan tentukan nilai n jika rataannya = 6. Jawab: (n − 4 ) + (n − 2 ) + (n + 1) + (n + 2 ) + (n + 4 ) + (n + 5 ) 6n + 6 x= = = n +1 6 6

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

Simpangan baku: S=

(− 5 )2 + (− 3)2 + (0)2 + (1)2 + (3)2 + (4)2 6

Jika rataannya = 6 x = n +1 ⇒ 6 = n +1 42.

25 + 9 + 0 + 1 + 9 + 16 60 = = 10 6 6

=

⇒n=5

Rataan dari lima bilangan adalah 2 dan simpangan bakunya 3 . Rataan dari tuju bilangan lain adalah 5 dan simpangan bakunya 6 . Jika dua kumpulan bilangan ini di gabungkan untuk membentuk suatu kumpulan data baru, hitung rataan dan simpangan baku kumpulan data baru itu. (grf50) Jawab: Misalkan: x 1 = rataan data 1, S1 = simpangan data 1, dan n1 = ukuran data 1.

x 2 = rataan data 2, S 2 = simpangan data 2, dan n 2 = ukuran data 2. Diperoleh rumus rataan gabungan: x gab =

n1 x 1 + n 2 x 2 n1 + n2

Dan rumus simpangan baku gabungan: S gab =

(

( ) )+ n (S

n1 S12 + x 1

2

2

n1 + n2

2 2

( ) ) − (x )

+ x2

2

2

gab

Sehingga dari data di atas, diketahui:

x 1 = 2 , S1 = 3 , n1 = 5 , x 2 = 5 , S 2 = 6 , dan n 2 = 7 . Maka, 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 5 45 15 = = 5+ 7 12 4 simpangan baku gabungan:

rataan gabungan: x gab =

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

S gab

5(3 + 4) + 7(6 + 25)  15  = −  5+ 7 4 35 + 217 225 − 12 16

=

= 21 −

225 16

=

336 − 225 16

=

111 16

=

1 111 4

Jadi, x gab = 43.

2

15 1 dan S gab = 111 . 4 4

Tentukan nilai rataan kuartil dan rataan tiga kuartil jika diketahui data: 23, 20, 25, 20, 22, 30, 28, 27, 35, 33, 32, 34, 27, 26, 21. Jawab:

Q1 + Q3 2

•

Rataan Kuartil: Rk =

•

Rataan Tiga Kuartil (Trirata): Rt =

Q1 + 2Q2 + Q3 4

Statistik terurut data di atas adalah: 20 20 21 22 23 25 26 27 27 28 30 32 33 34 35. Diperoleh: • • 44.

Q1 = 22, Q2 = 27, dan Q3 = 32

22 + 32 54 = = 27 2 2 22 + 54 + 32 108 Rataan Tiga Kuartil (Trirata): Rt = = = 27 4 4 Rataan Kuartil: Rk =

Diketahui angka-angka 4, 1, 13, 7, 8, 4, p, dan q yang memiliki mean 6 dan ragam 12,5. Tentukan nilai p dan q. (Sgp,grf47)

Jawab: Diketahui data: 4, 1, 13, 7, 8, 4, p, q. dengan x = 6 dan R = 12,5.

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

x=

∑ x ⇒ 6 = 4 + 1 + 13 + 7 + 8 + 4 + p + q ⇒ n

8

48 = 37 + p + q

⇒ p + q = 48 − 37 ⇒ p + q = 11 ⇒

∑ (x R=

i

−x

q = 11 − p

.................... ............(1)

)

2

n

2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 − 6) + (1 − 6) + (13 − 6 ) + (7 − 6 ) + (8 − 6 ) + (4 − 6 ) + ( p − 6) + (q − 6 ) ⇒ 12,5 =

8 ⇒ 100 = 4 + 25 + 49 + 1 + 4 + 4 + p − 12 p + 36 + q 2 − 12 q + 36 2

⇒ 100 = 159 + p 2 − 12 p + q 2 −12 q ⇒

0 = 159 + p − 12 p + q − 12q 2

2

.............................. ...........................................( 2)

Subtitusi (1) ke (2) 0 = 59 + p 2 − 12 p + q 2 − 12q ⇒ 0 = 59 + p 2 − 12 p + (11 − p ) − 12(11 − p ) 2

⇒ 0 = 59 + p 2 − 12 p + 121 − 22 p + p 2 − 132 + 12 p ⇒ 0 = 48 − 22 p + 2 p 2 ⇒ 0 = 24 − 11 p + p 2 ⇒ 0 = (8 − p )(3 − p ) ⇒ p = 8 atau p = 3 Untuk p = 8 diperoleh q = 11 – 8 = 3 Untuk p = 3 diperoleh q = 11 – 3 = 8 Jadi, nilai p = 8 dan q = 3 (atau sebaliknya) 45.

Sekumpulan data dibagi menjadi tiga kelompok A, B, dan C, lalu dicari rata-rata dan ragamnya. Hasilnya ditunjukkan seperti tabel berikut. Tentukan perbandingan banyak datum pada tiap kelompok. (Jp,grf47)

Rata-rata Ragam

Statistika

A 9 9

B 8 6

C 5 5

Keseluruhan 6 8

www.matikzone.wordpress.com

Jawab: Rataan gabungan: n x A + n B x B + nC x C 9 n + 8n B + 5nC x GAB = A ⇒ 6= A n A + n B + nC n A + n B + nC ⇒ 6n A + 6 nB + 6nC = 9n A + 8n B + 5nC ⇒ 3n A + 2 nB − nC = 0 .................................(1

Ragam gabungan:

()

Berdasarkan persamaan S 2 = x 2 − x

Rgab = ⇒ ⇒ ⇒

(

2

()

atau R = x 2 − x

( ) )+ n

n A RA + x A

2

(R

( )) 2

2

(

( ) ) − (x )

+ x B + nC RC + x C nA + n B + nC B

B

2

2

GAB

n A (9 + 81) + nB (6 + 64) + nC (5 + 25) − (6 )2 n A + nB + nC 90n A + 70n B + 30nC 8= − 36 nA + n B + nC 90n A + 70nB + 30nC 44 = n A + nB + nC 8=

45n A + 35nB + 15nC n A + n B + nC ⇒ 22n A + 22nB + 22nC = 45n A + 35nB + 15nC ⇒ 23n A + 13nB − 7nC = 0 .................................................................(2) ⇒

22 =

Dari (1) diperoleh: 3n A + 2 n B − nC = 0 ⇒ nC = 3n A + 2 nB

..........................................(3)

Subtitusi (3) ke (2) 23n A + 13n B − 7 nC = 0 ⇒ 23n A + 13n B − 7(3n A + 2 nB ) = 0 ⇒ 23n A − 21n A + 13nB − 14n B = 0 ⇒ 2n A − nB = 0 ⇒

2n A = nB

Diperoleh 2 nA = nB atau nA : nB =1 : 2 ...................................................................(4)

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

Dari (1) diperoleh:

3n A + 2 n B − nC = 0 ⇒ nB =

nC − 3 nA 2

..........................................( 5)

Subtitusi (5) ke (2)  n − 3n A  23n A + 13n B − 7 nC = 0 ⇒ 23n A + 13 C  − 7 nC = 0 2   ⇒ 46n A + 13nC − 39n A − 14nC = 0 ⇒ 7 n A − nC = 0 ⇒ 7 n A = nC Diperoleh 7 n A = nC atau n A : nC = 1 : 7 .................... ..............................................(6) Berdasarkan (4) dan (6) maka

n A : n B = 1 : 2  n : n : n = 1: 2 : 7 n A : nC = 1 : 7 A B C

46.

Nilai ujian suatu mata pelajaran adalah sebagai berikut. Nilai 5 6 7 8 9 10 Frekuensi 3 5 4 6 1 1 Jika nilai siswa yang lebih rendah dari rata-rata dinyatakan tidak lulus, tentukan banyaknya siswa yang tidak lulus. Jawab: Nilai Frekuensi fx x=

5 3 15

6 5 30

7 4 28

8 6 48

9 1 9

10 1 10

Jumlah 20 140

∑ fx = 140 = 7 ∑ f 20

Siswa yang nilainya kurang dari 7 dinyatakan tidak lulus, yaitu sebanyak 3 + 5 = 8 orang.

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

47.

Diketahui diagram batang daun hasil tes Matematika di kelas XI IPA sebagai berikut.

a). Tentukan jumlah siswa yang mengikuti tes. b). Tentukan nilai terendah dan tertinggi yang dicapai dalam tes tersebut. c). Gambarlah diagram kotak garis dari data tersebut. Jawab: Data tersebut dapat kita ubah dalah statistic terurut, yaitu: 32, 33, 35, 44, 51, 53, 53, 57, 73, 74, 76, 82, 87, 88, 91 a). Jumlah siswa yang mengikuti tes adalah 15 orang. b). Nilai terendah = 32 dan nilai tertinggi = 91 c). Untuk menggambar diagram kotak garis, perlu dicari terlebih dulu statistik 5 serangkainya, yaitu : x1 = 32, x n = 91, Q1 = 44, Q2 = 57, dan Q3 = 82 diagram:

30 32

Statistika

44

50

57

70

82

91

95

www.matikzone.wordpress.com

Soal-soal Latihan Tentukan Rataan, Median, dan Modus dari data berikut: 1. Data: 2, 5, 5, 6, 3, 4, 7, 8, 7, 6, 4, 7, 2, 3, 1, 4, 5, 6, 4, 7, 9, 9, 8, 4, 2, 3, 5, 6, 2, 1. 2. Data: 10, 15, 14, 21, 25, 36, 30, 35, 32, 28, 29, 14, 17, 16, 20, 20, 16, 18, 40, 44. 3. Data: 125, 135, 140, 250, 345, 650, 435, 360, 300, 400. 4. Data: 45, 80, 65, 45, 76, 90

Tentukan nilai kuartil dari: 5. Data: 9, 4, 5, 7, 8, 7, 2, 1, 1, 3, 4, 6, 5. 6. Data: 4, 3, 5, 6, 4, 8, 9, 9, 7, 6, 6, 4, 2, 5. 7. Data: 2, 3, 1, 5, 8, 4, 4, 6, 6, 5, 7, 9, 2, 4, 3. 8. Data: 8, 8, 9, 9, 9, 4, 5, 3, 6, 7, 7, 4, 5, 1, 2, 1.

Tentukan Rataan, Median, Modus , dan Kuartil data: 9. Data:

11. Data:

Nilai

Frekuensi

Berat Badan

Frekuensi

5

4

51 – 54

6

6

6

55 – 58

10

7

8

59 – 62

19

8

5

63 – 66

22

9

4

67 – 70

11

10

3

71 – 74

8

75 – 78

4

10. Data: 12. Data:

Nilai

Frekuensi

82

3

Berat Badan

Frekuensi

83

7

21 – 25

2

84

4

26 – 30

8

85

2

31 – 35

9

86

8

36 – 40

6

87

9

41 – 45

3

88

6

46 – 50

2

89

10

90

1

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

13. Dari pengukuran berat badan terhadap 50 siswa kelas XI IPA digambarkan seperti tabel di bawah. Tentukan rataan dengan menggunakan rataan sementara 57. Berat (kg)

Frekuensi

50 – 52

4

53 – 55

8

56 – 58

20

59 – 61

10

62 – 64

8

14. Tentukan mean, median dan modus dari data kelompok berikut. Nilai

F

30 – 39

4

40 – 49

6

50 – 59

8

60 – 69

12

70 – 79

9

80 – 89

7

90 – 99

4

15. Tentukan mean, median dan modus dari data berikut: Data

3

4

5

6

7

8

9

Frekuensi

4

5

7

8

12

3

1

16. Tentukan rataan, median, dan modus dari data nilai ulangan Matematika siswa kelas XI IPA berikut:

17. Berdasarkan table berikut ini, hitunglah kuartil bawah, tengah, dan atasnya. Hitung juga desil ke-3 dan ke-7.

Statistika

Nilai

F

30 – 39

1

40 – 49

3

50 – 59

11

www.matikzone.wordpress.com

60 – 69

21

70 – 79

43

80 – 89

32

90 – 99

9

18. Perhatikan histogram berikut. Tentukan nilai mean, median dan modusnya.

19. Diketahui sekumpulan data A={2, 4, 9, 8, 3, 7}. Tentukan rataannya menggunakan rataan sementara 5. 20. Diketahui himpunan data {1, 2, 3, 5, 6, n} dimana n bilangan bulat. Tentukan nilai n jika data tersebut memiliki rata-rata = 3. 21. Rataan berat badan 16 siswa wanita adalah 40,5 kg dan rataan berat badan 20 orang siswa laki- laki adalah 43,2 kg. Hitunglah rataan berat badan seluruh siswa. 22. Pada suatu hari, rata-rata banyaknya uang saku dari 14 siswa adalah Rp. 10.500,00 dan rata-rata banyaknya uang saku dari 36 siswa adalah Rp. 12.750,00. Tentukan rata-rata uang saku dari seluruh siswa tersebut pada hari itu! 23. Empat kelompok siswa masing- masing terdiri atas 45, 37, 35, dan 40 orang dengan tinggi rata-rata masing- masing 1,62; 1,48; 1,53; dan 1,40 meter. Tentukan rataan dari seluruh siswa. 24. Nilai rataan ujian matematika dari 40 siswa SMA adalah 70. Jika seorang siswa yang nilainya 30 tidak diikutkan dalam perhitungan, berapa nilai rataannya? 25. Nilai rataan ulangan harian matematika dari 36 siswa adalah 6,3. Jika seorang siswa yang nilainya 7 tidak diikutkan dalam perhitungan, maka rataan hitungnya adalah ... 26. Rataan jam belajar harian siswa laki- laki dan perempuan dari suatu sekolah masingmasing adalah 3 jam dan 7 jam. Jika rataan jam belajar harian seluruh siswa sekolah tersebut adalah 6 jam, dan jumlah siswa sekolah tersebut adalah 800 orang, berpakah jumlah siswa laki- laki?

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

27. Peserta ulangan matematika terdiri dari 40 orang siswa kelas XIA, 35 orang siswa kelas XIB, dan 25 orang siswa kelas XIC. Nilai rata-rata seluruh peserta adalah 7,2; sedangkan nilai rata-rata kelas XIA dan kelas XIB adalah 7. Nilai rata-rata kelas XIC adalah … 28. Nilai rataan kelas A adalah 8,5 dan nilai rataan kelas B adalah 6,5. Perbandingan jumlah siswa kelas A : B = 5 : 4. Berapakah nilai rataan kelas A dan B? 29. Berat rata-rata dari suatu kelompok yang terdiri dari siswa putra dan siswa putri adalah 45 kg. Jika berat rata-rata siswa putra adalah 50 kg dan berat rata-rata siswa putri adalah 42 kg, maka perbandingan banyaknya siswa putra dan siswa putri adalah ... 30. Berat badan rata-rata dua kelompok anak yang masing- masing terdiri dari 5 anak adalah 40 kg dan 44 kg. Bila seorang anak dari masing- masing kelompok ditukarkan, maka berat badan rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih berat badan anak yang ditukar adalah ... 31. Diketahui data I: 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10 dan data II: p, 5, 6. Jika nilai rata-rata data I sama dengan dua kali nilai rata-rata data II, berapakah nilai p? 32. Perhatikan tabel berikut. Nilai Ujian

3

4

5

6

7

8

9

Frekuensi

3

5

12

17

14

6

3

Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari rata-rata ditambah 1. Tentukan banyak siswa yang lulus. 33. Hasil ujian yang diikuti oleh 50 peserta adalah sebagai berikut: Nilai Ujian

4

5

6

7

8

9

Frekuensi

2

5

12

14

13

4

Seorang peserta ujian dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih dari rata-rata. Jumlah peserta yang lulus adalah... 34. Di bawah ini adalah tabel nilai ujian siswa pada suatu sekolah. Nilai Ujian

0–4

5–9

10 – 14

15 – 19

20 – 24

25 – 29

Frekuensi

10

12

15

20

10

13

Berdasarkan tabel di atas, berapakah skor minimalnya jika 30 peserta dinyatakan lulus? 35. Seorang Ayah berumur x tahun dan istrinya berumur 5 tahun lebih muda. Umur anak yang 1 1 pertama  x − 3 tahun dan umur anak yang kedua  x + 2  tahun. Jika rata-rata umur 2  4 

mereka adalah 26 tahun, maka umur anak yang kedua adalah... Statistika

www.matikzone.wordpress.com

36. Seorang ibu mempunyai 5 anak. Anak tertua berumur 2p tahun, yang termuda berumur p tahun. Tiga anak lainnya berturut-turut berumur 2p – 2, p + 2, dan p + 1 tahun. Jika ratarata umur mereka 17 tahun, umur anak yang di tengah adalah ... 37. Tahun lalu honor permulaan 5 orang pekerja bangunan dalam ribuan rupiah sebagai berikut: 480, 360, 650, 700, 260. Tahun ini honor mereka naik 5 % bagi yang sebelumnya menerima honor kurang dari 500 dan 10 % bagi yang sebelumnya menerima honor lebih dari 500. Tentukan rata-rata besarnya kenaikan gaji mereka per bulan! 38. Rataan dari a – 2, b + 3, dan c + 5 adalah 6. Rataan dari a + 4, b + 6, dan c – 1 adalah ... 39. Rataan dari kumpulan nilai 1, 2, 3, 4, ..., n adalah ... 40. Diketahui mean dari 5 datum berbeda adalah 15. Berapakah datum terbesar dan terkecil yang mungkin jika mediannya 12? Catatan: seluruh nilai adalah bilangan asli. 41. Carilah 5 bilangan yang meannya 10 dan mediannya 12. 42. Median nilai ulangan Matematika di sebuah kelas adalah 5,8. Jika banyak siswa di kelas tersebut 35 orang, berapa banyak siswa yang nilainya lebih dari median? Berapa banyak siswa yang nilainya lebih dari median? 43. Sebuah perusahaan sepatu ingin mengetahui ukuran sepatu yang paling banyak diperlukan (terjual). Dengan mengetahui ukuran sepatu yang paling banyak diperlukan, perusahaan akan memproduksi lebih banyak ukuran ini dibandingkan ukuran lain. Untuk keperluan ini sejumlah toko ditanya mengenai ukuran sepatu yang paling banyak terjual. Hasilnya seperti berikut ini:

33, 32, 34, 32, 35, 36, 34, 32, 35, 34, 32, 34, 33, 34, 30, 31,

32, 33, 34, 34, 30, 32, 28, 36, 37, 32, 31, 33, 32, 35, 34, 32, 34, 32, 32, 30, 37, 28, 36, 31, 32, 33, 32, 32. Tentukan Mean, Modus, dan Median dari data tersebut. Nilai apa yang dibutuhkan perusahaan, mean, median, ataukah modus untuk memproduksi ukuran sepatu yang paling banyak? Jelaskan alasannya. 44. Mungkinkah mean, median, dan modus suatu data bernilai sama? Jika mungkin berikan contohnya. Jika tidak sebutkan alasannya. 45. Dua buah kelas masing- masing terdiri atas 21 siswa diberikan tes kebugaran. Tesnya berupa push up yang harus dilakukan selama 30 detik. Hasil tes adalah sebagai berikut. Banyak push up Kelas A Kelas B

Banyak siswa

10

3

4

4

7

2

1

3

7

4

4

2

1

•

Dapatkan Anda menghitung mean banyaknya push up di setiap kelas? Mengapa?

•

Temtukan median dari data banyak push up setiap kelas.

Statistika

www.matikzone.wordpress.com

•

Manakah yang akan Anda gunakan, median atau modus untuk membandingkan hasil data dua kelas tersebut?

46. Tentukan desil ke-2, ke-3, dan ke-7 dari data upah bulanan 13 karyawan berikut (dalam 10rb rupiah). Data: 40, 30, 50, 65, 55, 70, 45, 60, 85, 35, 90, 90, 100.

Statistika

www.matikzone.wordpress.com