Dwa zadania:
Zad 1.
W zapisie liczby składającej się z 17 cyfr nie występuje cyfra zero. Zapis ten zawiera dokładnie m = 13 cyfr 9 i dokładnie jedną cyfrę 5 , a suma wszystkich cyfr w tej liczbie jest równa 128.
Ile jest takich liczb?
Zad 2.
Z elementów zbioru A = {a, b, c, d, e} tworzymy ciągi zawierające 10 wyrazów.
a) Ile jest takich ciągów, w których każde kolejne dwa sąsiadujące ze sobą wyrazy są różne?
b) Ile jest takich ciągów, w których liczba różnych wyrazów nie przekracza dwóch?
c) Ile jest takich ciągów, w których zbiór utworzony z każdych sąsiednich pięciu wyrazów ciągu jest równy zbiorowi A?
Zad 1.
W zapisie liczby składającej się z 17 cyfr nie występuje cyfra zero. Zapis ten zawiera dokładnie m = 13 cyfr 9 i dokładnie jedną cyfrę 5 , a suma wszystkich cyfr w tej liczbie jest równa 128.
Ile jest takich liczb?
Zad 2.
Z elementów zbioru A = {a, b, c, d, e} tworzymy ciągi zawierające 10 wyrazów.
a) Ile jest takich ciągów, w których każde kolejne dwa sąsiadujące ze sobą wyrazy są różne?
b) Ile jest takich ciągów, w których liczba różnych wyrazów nie przekracza dwóch?
c) Ile jest takich ciągów, w których zbiór utworzony z każdych sąsiednich pięciu wyrazów ciągu jest równy zbiorowi A?
Verified answer
Zadanie 1:Aby rozwiązać to zadanie, musimy spełnić trzy warunki: brak zera, 13 dziewiątek i jedna piątka. Rozważmy każdy z tych warunków oddzielnie.
Brak zera: Mamy 17 cyfr, a brak zera, więc każda cyfra musi być jedną z cyfr od 1 do 9.
13 dziewiątek: Ponieważ mamy dokładnie 13 dziewiątek, to pozostałe 4 cyfry (od 1 do 9) muszą sumować się do 128 - (13 * 9) = 35.
Jedna piątka: Musimy umieścić jedną piątkę w którejś z tych 17 miejsc.
Aby policzyć możliwości spełniające te warunki, możemy użyć kombinacji liczbowej. Wzór na kombinację to C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), gdzie n to liczba elementów, a k to liczba elementów wybieranych.
a) Liczba możliwych liczb, które spełniają te warunki, to: C(17, 13) * C(4, 1) = 17! / (13! * (17 - 13)!) * 4! / (1! * (4 - 1)!) = 2380.
Zadanie 2:
a) Jeśli każde dwa sąsiednie wyrazy muszą być różne, to pierwszy wybór możemy dokonać spośród 5 liter. Dla każdego kolejnego miejsca mamy 4 możliwości, aż do dziesiątego wyrazu. Stąd liczba możliwych ciągów to 5 * 4^9.
b) Jeśli liczba różnych wyrazów nie może przekraczać dwóch, oznacza to, że ciąg składa się tylko z dwóch różnych liter. Wybierając dwie litery z 5, mamy C(5, 2) kombinacji. Każda z tych liter może występować na jednym z 10 miejsc w ciągu. Stąd liczba możliwych ciągów to C(5, 2) * 2^10.
c) Jeśli każde pięć sąsiednich wyrazów tworzy zbiór A, to ciąg musi mieć postać "abcdeabcde". Jest tylko jedna taka możliwość.