Question

Saludos, necesito ayuda con esta tarea: Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está regido por la ecuación diferencial:
(d^2 x)/(dt^2 )+b ( dx)/dt+25x=0
En donde x(0)=1,〖 x〗^,(0)=0

Encuentre la ecuación del movimiento para los siguientes casos:
Caso 1: Movimiento subamortiguado: b =6
Caso 2: Movimiento críticamente amortiguado: b=10
Caso 3: Movimiento sobreamortiguado: b=14

Answer 1

La solución general de esta ecuación diferencial es:

x(t) = A e^[- b t/(2 m)] cos(ω' t + Ф)

con ω' = √[k/m - b²/(4 m²)

A = 1, ω² = k/m = 25;

Necesitamos la masa del cuerpo. Según los datos, el sistema es críticamente amortiguado cuando b = 10; implica ω' = 0

Por lo tanto: 25 - 10² / (4 m²) = 0, lo que nos deja m = 1

Luego.

a) sub amortiguado u oscilatorio amortiguado: b = 6

ω' = √[25 - 36/4] = 4

Dado que x'(t) = 0, resulta Ф = 0

x(t) = e^[-6 t/2] cos(4 t) = e^(- 3 t) cos(4 t)

b) críticamente amortiguado (no oscila); b = 10; ω' = 0

x(t) = e^(- 5 t)

Para b = 14, ω' = i √[14²/4 - 25] = i √24

De los números complejos se sabe que cos(i α) = cosh(α) (coseno hiperbólico)

De modo que:

x(t) = e^(- 7 t) cosh(√24 t) 

Adjunto gráfico de los tres casos.

Saludos Herminio