Question

DOY CORONA!!
una cuerda de la circunferencia x^2+y^2 =16 esta sobre la recta cuya ecuación es 2x+y-4=0 halla la longitud de la cuerda. ​

Answer 1

Respuesta:

espero que te sirva :)  

Explicación paso a paso:

la longitud de la cuerda correspondera a la distancia de los puntos los cuales son la intersección de la circunferencia con la recta, para ello despejamos una de las variables de la recta $x-7y+16=0$.

\[x=7y-16\]

sustituyendo $x$ en la ecuación de la circunferencia

\[x^2+y^2=16,\]

\[(7y-16)^2+y^2=16,\]

\[(7y-16)^2+y^2-16=0,\]

expandiendo

\[7^2y^2-(2)(7)16y+16^2+y^2-16=0,\]

\[49y^2-(2)(7)16y+y^2+16^2-16=0,\]

\[32y^2-(2)(7)25y+16(24)=0,\]

dividiendo cada expresión de la igualdad por 50

\[\dfrac{50}{50}y^2-\dfrac{(2)(7)25}{50}y+\dfrac{25(24)}{50}=\dfrac{0}{50},\]

\[y^2-7y+12=0,\]

factorizando la expresión anterior, buscando dos números que multiplicados de 12 y sumados -7, para este caso los números son $-4$ y $-3$, con lo cual

\[(y-3)(y-4)=0.\]

Entonces para que sea cero el producto de las dos expresiones es por que

\[y-3=0\quad \text{ y } \quad y-4=0,\]

con lo cual los valores de $y$ son

\[y=3\quad \text{ y } \quad y=4.\]

Sustituyendo cada valor de $y$ en la recta obtenemos el valor de $x$,

\[\begin{matrix}y=3&y=4,\\x=7y-25&x=7y-25\\ x=7(3)-25&x=7(4)-25\\x=21-25&x=28-25\\x=-4&x=3\end{matrix}\]

con lo cual los puntos donde cortan son $(-4,3)$ y $(3,4)$, ahora la distancia de los dos puntos se calcula por la siguiente formula,

\[d[(x_1,y_1),(x_2,y_2)]=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2},\]

\[d[(-4,3),(3,4)]=\sqrt{(-4-3)^2+(3-4)^2},\]

\[d[(-4,3),(3,4)]=\sqrt{(-7)^2+(-1)^2},\]

\[d[(-4,3),(3,4)]=\sqrt{49+1},\]

\[d[(-4,3),(3,4)]=\sqrt{50},\]

\[d[(-4,3),(3,4)]=\sqrt{25\times 2},\]

\[d[(-4,3),(3,4)]=\sqrt{25}\sqrt{2},\]

\[d[(-4,3),(3,4)]=5\sqrt{2},\]

finalmente la longitud de la cuerda es $5\sqrt{2}$.