Question

DOWODY
Uzasadnij, że kwadrat liczby, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, jest liczbą podzielną przez 3 z resztą 1. Prosiłbym także o wytłumaczenie

Answer 1

Liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, można zapisać w postaci ogólnej jako [tex]3n+2[/tex], dla pewnej liczby naturalnej n.

Mamy udowodnić, że kwadrat tej liczby przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Zatem kwadrat tej liczby musi się dać zapisać w postaci [tex]3m+1[/tex] dla pewnej liczby naturalnej m.

Sprawdźmy, czy tak rzeczywiście jest.

[tex](3n+2)^2=(3n)^2+2*3n*2+2^2=9n^2+12n+4=9n^2+12n+3+1=\\=3\underbrace{(3n^2+4n+1)}_{=m\in\mathbb{N}}+1=3m+1[/tex]

dla pewnej liczby naturalnej m postaci

[tex]m=3n^2+4n+1[/tex]

To kończy dowód.