Obrotowy cylinder o średnicy 114 mm i wysokości 100 mm wypełniony jest w połowie wodą. Oblicz maksymalną prędkość obrotową naczynia przy której woda pozostanie w naczyniu. Do obliczeń pomiń lepkość wody. Przyjąć: g=9,806 m/s² , ρ=1kg/dm³
polakevil
Wybierzmy uklad odniesienia: niech os x pokrywa sie z jakas srednica naczynia i niech 0 bedzie w jej srodku, os y pionowo, niech ma 0 w najnizszym punkcie lustra wody.
na kazdy element wody przy powierzchni dzialaja dwie sily, grawitacji i odsrodkowa, lustro wody bedzie mialo taki ksztalt zeby w kazdym punkcie sila wypadkowa byla prostopadla do powierzchni wody czyli w zasadzie do stycznej do tej powierzchni. Policzymy tangens kata nachylenia sily wypadkowej do osi x (wiadomo ze jest ujemny)
gdzie dm to masa malego "kawalka" wody :)
Jesli lusto wody ma wzor
to wiemy ze styczna do tej funkcji w dowolnym punkcie musi byc prostopadla do sily wypadkowej czyli
stad (calkujac)
Liczba C jest wyskoscią wierzcholka paraboli nad dnem naczynia, zeby ja wyznaczyc trzeba porownac objetosc wody na poczatku i teraz. Na poczatku objetosc wynosila
a teraz wynosi
porownujac objetosci dostajemy
Rozumowanie dziala do mementu kiedy C>0, wiec mam nadzieje ze wynik koncowy bedzie to spelnial. Wstawajac otrzymane C do funkcji f(x) dostajemy
Predkosc katowa bedzie maksymalna gdy woda przy brzegu naczynia dosiegnie do samej gory, czyli gdy
Podstawiając dane otrzymujemy
Trzeba jeszcze sprawdzic czy przy takiej predkosci C>0, jesli nie to znaczy ze wir osiagnie dno zanim woda podejdzie do samej gory i wtedy woda bedzie sie podnosic dalej wg innych wzorow.
Ufff, czyli akurat wir osiaga dno i wszystko jest ok.
na kazdy element wody przy powierzchni dzialaja dwie sily, grawitacji i odsrodkowa, lustro wody bedzie mialo taki ksztalt zeby w kazdym punkcie sila wypadkowa byla prostopadla do powierzchni wody czyli w zasadzie do stycznej do tej powierzchni. Policzymy tangens kata nachylenia sily wypadkowej do osi x (wiadomo ze jest ujemny)
gdzie dm to masa malego "kawalka" wody :)
Jesli lusto wody ma wzor
to wiemy ze styczna do tej funkcji w dowolnym punkcie musi byc prostopadla do sily wypadkowej czyli
stad (calkujac)
Liczba C jest wyskoscią wierzcholka paraboli nad dnem naczynia, zeby ja wyznaczyc trzeba porownac objetosc wody na poczatku i teraz. Na poczatku objetosc wynosila
a teraz wynosi
porownujac objetosci dostajemy
Rozumowanie dziala do mementu kiedy C>0, wiec mam nadzieje ze wynik koncowy bedzie to spelnial. Wstawajac otrzymane C do funkcji f(x) dostajemy
Predkosc katowa bedzie maksymalna gdy woda przy brzegu naczynia dosiegnie do samej gory, czyli gdy
Podstawiając dane otrzymujemy
Trzeba jeszcze sprawdzic czy przy takiej predkosci C>0, jesli nie to znaczy ze wir osiagnie dno zanim woda podejdzie do samej gory i wtedy woda bedzie sie podnosic dalej wg innych wzorow.
Ufff, czyli akurat wir osiaga dno i wszystko jest ok.