Question

Dla pewnych liczb rzeczywistych x ciąg (7-x, x+8, -2x, … ) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym. Szereg geometryczny wyznaczony przez ten ciąg jest zbieżny. Wyznacz sumę tego szeregu. Zapisz obliczenia

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]S=27[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex](7-x,x+8,-2x,...)[/tex]

Z tw. o sąsiadach dla ciągu geometrycznego mamy

[tex](x+8)^2=(7-x)*(-2x)\\x^2+16x+64=-14x+2x^2\\-x^2+30x+64=0\ |*(-1)\\x^2-30x-64=0\\\Delta=(-30)^2-4*1*(-64)=900+256=1156\\\sqrt\Delta=34\\x_1=\frac{30-34}{2}=\frac{-4}{2}=-2\\x_2=\frac{30+34}{2}=\frac{64}{2}=32[/tex]

Zatem mamy dwa ciągi.

Dla [tex]x_1=-2[/tex] :

[tex](7-x,x+8,-2x,...)=(9,6,4,...)\\\\q_1=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}[/tex]

Dla [tex]x_2=32[/tex] :

[tex](7-x,x+8,-2x,...)=(-25,40,-64,...)\\\\q_2=\frac{40}{-25}=-1\frac{15}{25}=-1\frac{3}{5}[/tex]

Spośród dwóch policzonych wyżej [tex]q[/tex] tylko [tex]q_1[/tex] spełnia warunki zadania, bo [tex]q_1=\frac{2}{3}\in(-1,1)[/tex], więc szereg jest zbieżny. Dla [tex]q_2[/tex] szereg nie jest zbieżny.

Zatem ostatecznie mamy ciąg

[tex](9,6,4,...)\qquad q=\frac{2}{3}[/tex]

Suma szeregu wynosi:

[tex]S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{1-\frac{2}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}=9*\frac{3}{1}=27[/tex]