Question

Dla pewnej liczby rzeczywistej t prawdziwa jest nierówność 6^t + 2^t - 3^t - 1 <0
Stąd wynika, że

A. t ∈ (−2, 3) B. t ∈ (−3, 2) C. t ∈ (−∞, 0) D. t ∈ (0, +∞)
proszę z wyjasnieniem

Answer 1

Odpowiedź:

C

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]6^t+2^t-3^t-1 < 0[/tex]

Przedstawiamy 6 jako 2*3.

[tex](2*3)^t+2^t-3^t-1 < 0[/tex]

Korzystamy ze wzoru dla potęg [tex](a*b)^c=a^c*b^c[/tex].

[tex]2^t*3^t+2^t-3^t-1 < 0[/tex]

Dla pierwszych dwóch składników wyciągamy przed nawias [tex]2^t[/tex], a dla dwóch ostatnich wyciągamy przed nawias minus.

[tex]2^t(3^t+1)-(3^t+1) < 0[/tex]

Wyciągamy nawias [tex](3^t+1)[/tex] przed nawias.

[tex](3^t+1)(2^t-1) < 0[/tex]

Zauważamy, że pierwszy nawias jest zawsze dodatni [tex]3^t+1 > 0[/tex], więc wystarczy, że drugi nawias będzie ujemny.

[tex]2^t-1 < 0\\2^t < 1[/tex]

Przedstawiamy 1 jako [tex]2^0[/tex].

[tex]2^t < 2^0[/tex]

Korzystamy z tego, że dla podstawy większej od 1 (tu podstawa to 2) funkcja wykładnicza jest rosnąca, więc po opuszczeniu podstaw mamy

[tex]t < 0\\t\in(-\infty,0)[/tex]