Question

Dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem układu równań jest para liczb o przeciwnych znakach?
3x+y=2m+1
x-y=5-m

Answer 1

Wykorzystam metodę Cramera.

Najpierw sprawdźmy, czy istnieją rozwiązania, w tym celu liczę wyznacznilk

[tex]W=\left|\begin{array}{cc}3&1\\1&-1\end{array}\right|=-3-1=-4\neq0[/tex]

Oznacza to, że niezależnie od wartości m układ równań jest określony.

W celu znalezienia rozwiązań liczę wyznaczniki Wx oraz Wy

[tex]W_x=\left|\begin{array}{cc}2m+1&1\\5-m&-1\end{array}\right|=-2m-1-5+m=-m-6\\W_y=\left|\begin{array}{cc}3 &2m+1\\1&5-m&\end{array}\right|=15-3m-2m-1=-5m+14[/tex]

Jeśli rozwiązania mają być różnych znaków to:

1.

[tex]W_x < 0\ \wedge\ W_y > 0\\-m-6 < 0\ \Rightarrow m > -6\\-5m+14 > 0\ \Rightarrow\ m < \frac{14}{5}\\m\in (-6;\frac{14}{5})[/tex]

2.

[tex]W_x > 0\ \wedge\ W_y < 0\\-m-6 > 0\ \Rightarrow\ m < -6\\-5m+14 < 0\Rightarrow\ m > \frac{14}{5}[/tex]

tutaj brak jest części wspólnej, więc nie ma rozwiązania.

Ostatecznie:

[tex]m\in(-6;\frac{14}{5})[/tex]

pozdrawiam