Równanie (m - 2)x² + 3x - 1 = 0 ma jedno rozwiązanie dla
m = 2 → x = 1/3
m = - 1/4 → x = 2/3
Liczba rozwiązań równania kwadratowego z parametrem.
Równanie kwadratowe, to równanie postaci
[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]
gdzie
[tex]a,b,c\in\mathbb{R}\ \wedge\ a\neq0[/tex]
Wyróżnik trójmianu kwadratowego:
[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]
Liczba rozwiązań równania kwadratowego zależy od znaku wyróżnika trójmiany kwadratowego:
gdy Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych;
gdy Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych postaci: [tex]x_o=\dfrac{-b}{2a}[/tex] ;
gdy Δ > 0, to równanie ma dwa różne rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych postaci: [tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Dane jest równanie:
[tex](m-2)x^2+3x-1=0[/tex]
[tex]a=m-2,\ b=3,\ c=-1[/tex]
Mamy zbadać, dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex], równanie to ma jedno rozwiązanie.
PRZYPADEK 1.
Gdy [tex]a=0[/tex]. Wówczas będziemy mieli do czynienia z równaniem liniowym.
Gdy [tex]a\neq0[/tex]. Wówczas mamy do czynienia z równaniem kwadratowym. W związku z tym, aby równanie miało jedno rozwiązanie muszą zachodzić warunki:
Równanie (m - 2)x² + 3x - 1 = 0 ma jedno rozwiązanie dla
m = 2 → x = 1/3
m = - 1/4 → x = 2/3
Liczba rozwiązań równania kwadratowego z parametrem.
Równanie kwadratowe, to równanie postaci
[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]
gdzie
[tex]a,b,c\in\mathbb{R}\ \wedge\ a\neq0[/tex]
Wyróżnik trójmianu kwadratowego:
[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]
Liczba rozwiązań równania kwadratowego zależy od znaku wyróżnika trójmiany kwadratowego:
[tex]x_o=\dfrac{-b}{2a}[/tex] ;
[tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Dane jest równanie:
[tex](m-2)x^2+3x-1=0[/tex]
[tex]a=m-2,\ b=3,\ c=-1[/tex]
Mamy zbadać, dla jakich wartości parametru [tex]m[/tex], równanie to ma jedno rozwiązanie.
PRZYPADEK 1.
Gdy [tex]a=0[/tex]. Wówczas będziemy mieli do czynienia z równaniem liniowym.
[tex]a=0\Rightarrow m-2=0\qquad|+2\\\\\boxed{m=2}[/tex]
Dla tej wartości parametru, równanie przyjmuje postać:
[tex]3x-1=0[/tex]
To równanie ma jedno rozwiązanie:
[tex]3x-1=0\qquad|+1\\\\3x=1\qquad|:3\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{3}}[/tex]
PRZYPADEK 2:
Gdy [tex]a\neq0[/tex]. Wówczas mamy do czynienia z równaniem kwadratowym. W związku z tym, aby równanie miało jedno rozwiązanie muszą zachodzić warunki:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a\neq0&(1)\\\Delta=0&(2)\end{array}\right[/tex]
Ad.(1)
[tex]a\neq0\Rightarrow m-2\neq0\\\\\boxed{m\neq2}[/tex]
Ad.(2)
[tex]\Delta=0\\\\\Delta=3^2-4\cdot(m-2)\cdot(-1)=9+4m-8=4m-1\\\\\Delta=0\iff4m+1=0\qquad|-1\\\\4m=-1\qquad|:4\\\\\boxed{m=-\dfrac{1}{4}}[/tex]
Z (1) i (2) mamy:
[tex]m=-\dfrac{1}{4}[/tex]
Wówczas otrzymujemy rozwiązanie równe:
[tex]a=m-2\Rightarrow a=-\dfrac{1}{4}-2=-2\dfrac{1}{4}=-\dfrac{9}{4}[/tex]
[tex]x_o=\dfrac{-3}{2\cdot\left(-\frac{9}{4}\right)}=\dfrac{3}{\frac{9}{2}}=3\cdot\dfrac{2}{9}\\\\\boxed{x_o=\dfrac{2}{3}}[/tex]