Question

Dla jakich wartości parametru p wielomian w(x) = x³ + x²(p+ 3) + 4px ma dokładnie jeden pierwiastek?​

Answer 1

Aby wielomian miał dokładnie jeden pierwiastek, to jego delta musi być równa zero, czyli musi zachodzić równość:

Δ = b² - 4ac = 0

Dla danego wielomianu mamy:

a = 1

b = p + 3

c = 4p

Podstawiając do wzoru na deltę, otrzymujemy:

Δ = (p + 3)² - 4 · 1 · 4p = p² + 6p + 9 - 16p = p² - 10p + 9

Aby delta była równa zero, musi zachodzić warunek:

p² - 10p + 9 = 0

Możemy teraz rozwiązać to równanie kwadratowe przy pomocy np. wzoru na deltę:

Δ = b² - 4ac = 100 - 4 · 1 · 9 = 64

p₁ = (10 + √Δ) / 2 = (10 + 8) / 2 = 9

p₂ = (10 - √Δ) / 2 = (10 - 8) / 2 = 1

Stąd wynika, że wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek dla wartości parametru p równych 1 lub 9.