Question

Dla jakich wartości parametru m suma sześcianów różnych pierwiastków równania: x^2 + 3(m+1)x + 3m = 0 jest mniejsza od -27?

Answer 1

Suma sześcianów pierwiastków równania x²+3(m+1)x+3m=0 jest mniejsza od -27 dla m>0.

Wzory Viete'a

Jeżeli równanie ax²+bx+c=0 (a≠0) ma dwa rozwiązania x₁, x₂, to:

[tex]\huge\boxed{x_1+x_2=-\dfrac{b}a,\:\:x_1\cdot x_2=\dfrac{c}a}[/tex]

Zadanie:

Dla jakich wartości parametru m suma sześcianów różnych pierwiastków równania: x² + 3(m+1)x + 3m = 0 jest mniejsza od -27?

Zgodnie z treścią zadania układamy nierówność:

[tex]x_1^3+x_2^3 < -27[/tex]

Rozwijamy równanie zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na sumę sześcianów:

[tex](x_1+x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) < -27[/tex]

Podstawiamy znane nam wzory Viete'a:

[tex]-\dfrac{b}a\left(x_1^2+x_2^2+\dfrac{c}a\right) < -27[/tex]

Aby poznać równanie reprezentującą sumę kwadratów pierwiastków tego równania, należy podnieść wzór Viete'a na sumę pierwiastków do kwadratu:

[tex]\begin{array}{lll}x_1+x_2=-\dfrac{b}a&|&^2\\\\(x_1+x_2)^2=\left(-\dfrac{b}a\right)^2\\\\x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=\dfrac{b^2}{a^2}\\\\x_1^2+x_2^2+2\cdot\dfrac{c}a=\dfrac{b^2}{a^2}&|&-\dfrac{2c}a\\\\\underline{x_1^2+x_2^2=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}a}\end{array}[/tex]

Podstawiamy do rozwinięcia wzoru na sumę sześcianów pierwiastków:

[tex]-\dfrac{b}a\left(\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}a-\dfrac{c}a\right) < -27\\\\-\dfrac{b}a\left(\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{3c}{a}\right) < -27[/tex]

Nierówność rozwiązujemy dla równania danego wzorem :

[tex]\boxed{x^2+3(m+1)x+3m=0}[/tex]

Wypisujemy współczynniki liczbowe tego równania:

[tex]a=1,\:\:b=3(m+1),\:\:c=3m[/tex]

Podstawiamy do nierówności:

[tex]-\dfrac{3(m+1)}1\left(\dfrac{\left[3(m+1)]^2}{1^2}-\dfrac{3\cdot 3m}1\right) < -27\\\\-3(m+1)\left[(3m+3)^2-9m\right] < -27\\\\-3(m+1)(9m^2+18m+9-9m) < -27\\\\-3(m+1)(9m^2+9m+9) < -27\\\\-27(m+1)(m^2+m+1) < -27\\\\(-27m-27)(m^2+m+1) < -27[/tex]

A zatem:

[tex]\begin{array}{lll}m^2+m+1 < -27&|&+27\\\\m^2+m+28 < 0\\\\\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot 27\\\\\Delta < 0&-&\text{nierownosc nie ma pierwiastkow}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{lll}-27m-27 < -27&|&+27\\\\-27m < 0&|&:(-27)\\\\\boxed{\bold{m > 0}}\end{array}[/tex]

_______________________________________________________

Sprawdzenie poprawności rozwiązania

1. Dla m=-1
   
   [tex]\begin{array}{lll}x^2+3(-1+1)x+3\cdot (-1)=0\\\\x^2-3=0&|&+3\\\\x^2=3&|&\sqrt{}\\\\x_1=\sqrt3 \wedge x_2=-\sqrt3\end{array}\\\\(\sqrt3)^3+(-\sqrt3)^3=3\sqrt3+(-3\sqrt3)=0 < \!\!\!\!\!\!\diagdown -27[/tex]
   
2. Dla m=0
   
   [tex]\begin{array}{lll}x^2+3(0+1)x+3\cdot 0=0\\\\x^2+3x=0\\\\x(x+3)=0\\\\x=0 \wedge x=-3\\\\\end{array}\\\\0^3+(-3)^3=0+(-27)=-27 < \!\!\!\!\!\!\diagdown -27[/tex]
   
3. Dla m=1
   
   [tex]\begin{array}{lll}x^2+3(1+1)x+3\cdot 1=0\\\\x^2+6x+3=0\\\\\Delta=6^2-4\cdot 1\cdot 3\\\\\Delta=36-12\\\\\Delta=24\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{24}=2\sqrt6\\\\x_1=\dfrac{-6-2\sqrt6}{2}=-3-\sqrt6\\\\x_2=\dfrac{-6+2\sqrt6}2=-3+\sqrt6\end{array}\\\\(-3-\sqrt6)^3+(-3+\sqrt6)^3=-81-33\sqrt6-81+33\sqrt6=\underline{\bold{-162 < -27}}[/tex]
   
4. Dla m=2
   
   [tex]x^2+3(2+1)x+3\cdot 2=0\\\\x^2+9x+6=0\\\\\Delta=9^2-4\cdot 1\cdot 6\\\\\Delta=81-24\\\\\Delta=57\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{57}\\\\x_1=\dfrac{-9-\sqrt{57}}2=-\dfrac{9+\sqrt{57}}2\\\\x_2=\dfrac{-9+\sqrt{57}}2=-\dfrac{9-\sqrt{57}}2\\\\\left(-\dfrac{9+\sqrt{57}}2\right)^3+\left(-\dfrac{9-\sqrt{57}}2\right)^3=-\dfrac{567+75\sqrt{57}}2-\dfrac{567-75\sqrt{57}}2=\\\\=\dfrac{-567-75\sqrt{57}-567+75\sqrt{57}}2=\dfrac{2\cdot (-567)}2=\underline{\bold{-567 < -27}}[/tex]