Question

Dla jakich wartości parametru m różne rozwiązania x1, x2 równania x^2 + 2x + m - 1 = 0 spełniają warunek |x1| + |x2| <= 3 ?

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{ccc}m\in\left\langle-\dfrac{1}{4},\ 2\right)\end{array}[/tex]

Równanie kwadratowe z parametrem.

Równanie kwadratowe, to równanie postaci

[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]

gdzie

[tex]a,b,c\in\mathbb{R}\ \wedge\ a\neq0[/tex]

Wyróżnik trójmianu kwadratowego:

[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]

Liczba rozwiązań równania kwadratowego zależy od znaku wyróżnika trójmiany kwadratowego:

• gdy Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych;
• gdy Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych postaci:
  [tex]x_o=\dfrac{-b}{2a}[/tex] ;
• gdy Δ > 0, to równanie ma dwa różne rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych postaci:
  [tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}[/tex]

ROZWIĄZANIE:

Mamy równanie:

[tex]x^2+2x+m-1=0\\\\a=1,\ b=2,\ c=m-1[/tex]

Aby równanie miało dwa różne pierwiastki, to Δ > 0:

[tex]\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(m-1)=4-4m+4=8-4m\\\\\Delta > 0\iff8-4m > 0\qquad|-8\\\\-4m > -8\qquad|:(-4)\\\\\boxed{m < 2}[/tex]

Pierwiastki równania mają spełniać warunek:

[tex]|x_1|+|x_2|\leq3[/tex]

Jako, że:

[tex]\Delta=8-4m=4(2-m)\Rightarrow\sqrt\Delta=\sqrt{4(2-m)}=2\sqrt{2-m}[/tex]

W związku z tym:

[tex]x_1=\dfrac{-2-2\sqrt{2-m}}{2\cdot1}=-1-\sqrt{2-m}\\\\x_2=\dfrac{-2+2\sqrt{2-m}}{2\cdot1}=-1+\sqrt{2-m}[/tex]

Podstawiamy do nierówności:

[tex]|-1-\sqrt{2-m}|+|-1+\sqrt{2-m}|\leq3\\\\|-(1+\sqrt{2-m})|+|\sqrt{2-m}-1|\leq3\\\\|1+\sqrt{2-m}|+|\sqrt{2-m}-1|\leq3[/tex]

Jako, że

[tex]1+\sqrt{2-m} > 0\qquad\text{dla}\ m < 2[/tex]

stąd

[tex]|1+\sqrt{2-m}|=1+\sqrt{2-m}[/tex]

W związku z tym otrzymujemy:

[tex]1+\sqrt{2-m}+|\sqrt{2-m}-1|\leq3\\\\|\sqrt{2-m}-1|\leq2-\sqrt{2-m}\\\Updownarrow\\(\sqrt{2-m}-1\leq2-\sqrt{2-m})\ \wedge\ (\sqrt{2-m}-1\geq-2+\sqrt{2-m})\\\\(2\sqrt{2-m}\leq3)\ \wedge\ (-1\geq-2)\\\\\left(\sqrt{2-m}\leq\dfrac{3}{2}\right)\ \wedge\ (0\geq-1)[/tex]

Jako, że w pierwszej nierówności mamy liczby dodatnie, to obie strony nierówności możemy podnieść do kwadratu.

Druga nierówność nie zależy od parametru [tex]m[/tex] i jest prawdziwa. W związku z tym [tex]m\in\mathbb{R}[/tex].

[tex]\sqrt{2-m}\leq\dfrac{3}{2}\qquad|()^2\\\\2-m\leq\dfrac{9}{4}\ \wedge\ m\leq2\\\\-m\leq\dfrac{1}{4}\Rightarrow \boxed{m\geq-\dfrac{1}{4}\ \wedge\ m\leq2}[/tex]

Ostatecznie mamy:

[tex]m\in\left\langle-\dfrac{1}{4},\ 2\right)[/tex]