[tex]f'(x)[/tex] jest funkcją kwadratową. [tex]a > 0[/tex] a więc ramiona paraboli skierowane od góry. Nie może mieć zatem ta funkcja żadnych miejsc zerowych, aby zawsze przyjmowała wartości dodatnie. A więc żeby zaszło [tex]f'(x) > 0[/tex] to musi zajść [tex]\Delta < 0[/tex].
Pierwsza pochodna musi być dodatnia na całej dziedzinie.
[tex]f(x)=2x^3+(k^2-2k-3)x-7\\\\f'(x)=6x^2+k^2-2k-3[/tex]
[tex]f'(x)[/tex] jest funkcją kwadratową. [tex]a > 0[/tex] a więc ramiona paraboli skierowane od góry. Nie może mieć zatem ta funkcja żadnych miejsc zerowych, aby zawsze przyjmowała wartości dodatnie. A więc żeby zaszło [tex]f'(x) > 0[/tex] to musi zajść [tex]\Delta < 0[/tex].
[tex]\Delta=0^2-4\cdot6\cdot(k^2-2k-3)=-24k^2+48k+72\\\\-24k^2+48k+72 < 0\\k^2-2k-3 < 0\\k^2+k-3k-3 < 0\\k(k+1)-3(k+1) < 0\\(k-3)(k+1) < 0\\k\in(-1,3)[/tex]
Zatem dla [tex]k\in(-1,3)[/tex]