Question

Dla jakich wartości ciąg 22, 20, 15 - 2x, 12, 4x + 2, 6 jest malejący

Answer 1

Ten ciąg jest malejący dla każdego x ze zbioru (1; 1,5)

Ciąg jest malejący wtedy, kiedy kolejne wyrazy tego ciągu są mniejsze od poprzednich ale większe od kolejnych.

Dany jest ciąg: 22, 20, 15-2x, 12, 4x+2, 6.

Wyrażenia z niewiadomą x występują w 3 i 5 wyrazie tego ciągu.

3 wyraz ciągu musi być mniejszy od drugiego, ale większy od trzeciego.

[tex]20 > 15-2x > 12[/tex]

5 wyraz ciągu musi być mniejszy od czwartego, ale większy od szóstego.

[tex]12 > 4x+2 > 6[/tex]

Zatem ciąg jest malejący dla każdego x, który spełnia te nierówności:

[tex]\left\{\begin{matrix}20 > 15-2x > 12\\12 > 4x+2 > 6\end{matrix}\right.[/tex]

Każdą z tych nierówności musimy rozbić na dwie, inne nierówności:

[tex]\begin{array}{ll|ll}\multicolumn{4}{c}{20 > 15-2x > 12}\\20 > 15-2x&|-15&15-2x > 12&|-15\\-2x < 20-15&&-2x > 12-15\\-2x < 5&|:(-2)&-2x > -3&:(-2)\\x > -\dfrac52&&x < \dfrac32\end{array}[/tex]

Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór:

[tex]x\in \left(-\dfrac52; \dfrac32\right)[/tex]

Teraz zajmujemy się drugim zestawem nierówności:

[tex]\begin{array}{ll|ll}\multicolumn{4}{c}{12 > 4x+2 > 6}\\12 > 4x+2&|-2&4x+2 > 6&|-2\\4x < 12-2&&4x > 6-2\\4x < 10&|:4&4x > 4&|:4\\x < \dfrac52&&x > 1\end{array}[/tex]

Zatem rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór:

[tex]x\in\left(1;\dfrac52\right)[/tex]

Zbiór jest zatem malejący dla każdego x, które spełnia podany układ rozwiązań:

[tex]\left\{\begin{matrix}x\in\left(-\dfrac52; \dfrac32\right)\\x\in\left(1; \dfrac52\right)\end{matrix}\right.[/tex]

Zaznaczamy te zbiory na osi liczbowej i odczytujemy ich część wspólną.

[tex]\boxed{x\in\left(1;\dfrac32\right)}[/tex]