Question

Dla jakich wartości a i b wielomian w(x) = x² + ax + b jest podzielny przez dwumian x² - 1?​

Answer 1

Aby wielomian $w(x) = x^2 + ax + b$ był podzielny przez dwumian $x^2 - 1$, musi zachodzić warunek $w(1) = 0$ oraz $w(-1) = 0$.

Zaczynamy od sprawdzenia, czy $w(1) = 0$:

$$w(1) = 1^2 + a\cdot 1 + b = 1 + a + b$$

Jeśli $x^2 - 1$ ma być dzielnikiem $w(x)$, to $w(1) = 0$, więc:

$$1 + a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -1 - b$$

Teraz sprawdzamy, czy $w(-1) = 0$:

$$w(-1) = (-1)^2 + a\cdot (-1) + b = 1 - a + b$$

Jeśli $x^2 - 1$ ma być dzielnikiem $w(x)$, to $w(-1) = 0$, więc:

$$1 - a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = b - 1$$

Teraz możemy połączyć oba równania i otrzymać:

$$-1 - b = b - 1 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{2}{2} = 1$$

Podsumowując, jeśli $a = -1 - b = -2$ i $b = 1$, to wielomian $w(x) = x^2 - 2x + 1$ jest podzielny przez dwumian $x^2 - 1$.