Question

Dla jakich m suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania x^2 + (m-5)x + m^2 - 6m + 5 = 0 jest większa od 7?

Answer 1

Odpowiedź:

x² + ( m - 5) x + m² - 6 m + 5 = 0

a = 1              b  =  m - 5         c = m² - 6 m + 5

1°  Δ > 0

2°  [tex]x_1^2 + x_2^2 > 7[/tex]

więc

1° )    Δ = ( m - 5)² - 4*1*(m² - 6 m + 5) = m² - 10 m +25 - 4 m² + 24 m - 20

       Δ = - 3 m² + 14 m  + 5  >  0

Δ[tex]_m[/tex]  = 14² - 4*(-3)*5 = 196 + 60 = 256

[tex]m_2 = \frac{-14 - 16}{2*(-3)} = 5[/tex]                 [tex]m_1 = \frac{-14 + 16}{-6} = - \frac{1}{3}[/tex]

m ∈ ( -  [tex]\frac{1}{3} ; 5 )[/tex]

===============

2° )     ( [tex]x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2 x_1*x_2 + x_2^2[/tex]

więc     [tex]x_1^2 + x_2^2 = ( x_1 + x_2)^2 - 2 x_1*x_2[/tex]

Z wzorów Viete'a  mamy

= 5 - m - 2*( m² - 6 m + 5 ) = 5 - m - 2 m² + 12 m - 10 = - 2 m² + 11 m - 5 > 7

- 2 m² + 11 m - 5 > 7

- 2 m² + 11 m - 12 >  0

Δ[tex]_M =[/tex]  121 - 4*(- 2)*(-12) = 121 - 98 = 25

[tex]m_4 = \frac{- 11 - 5}{2*(-2)} = 4[/tex]                  [tex]m_3 = \frac{-11 + 5}{- 4} = 1,5[/tex]

[tex]m[/tex]  ∈  (  1,5 ;  4 )

------------------------

Z   1°  i   2°   ⇒  m ∈ ( 1,5  ;  4)

===============================

Szczegółowe wyjaśnienie: