Question

Dla jakich m okręgi o równaniach
x^2 + y^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0 i
x^2 + y^2 + 4x + 3 = 0
są styczne:
a) wewnętrznie,
b) zewnętrznie?
​

Answer 1

Odpowiedź:

[tex] {x}^{2} + {y}^{2} + 2mx + {m}^{2} - 1 = 0 \\ ( {x} + m) {}^{2} + {y}^{2} = 1[/tex]

[tex] ({x}^{2} + 4x + 4) + {y}^{2} = 1 \\ {(x + 2)}^{2} + {y}^{2} = 1[/tex]

Pierwszy okrąg ma środek w punkcie S1(-m; 0) i jego promień r1=1 , a drugi w punkcie S2(-2;0) i jego promień r2=1

a) Aby były styczne wewnętrznie to:

[tex] |r_{1} -r _{2}| = |s_{1}s_{2}| \\ [/tex]

ale r1-r2= 0, więc okręgi nie mogą być styczne wewnętrznie, mogą się co najwyżej pokryć.

b) aby były styczne zewnętrznie to:

[tex]r_{1} +r _{2} = |s_{1}s_{2}| [/tex]

r1+r2=2

|S1S2|= ✓(-m-2)^2=|m-2|

|m-2|=2

m-2=2 lub m-2=-2

m=4 lub m=0

Answer 2

Verified answer

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]x^2 + y^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0[/tex]

  [tex]x^2+2mx+m^2+y^2=1\\(x+m)^2+y^2=1[/tex]

środek A(-m, 0) i promień r=1

oraz

[tex]x^2 + y^2 + 4x + 3 = 0[/tex]

  [tex]x^2+4x+4+y^2-1=0\\(x+2)^2+y^2=1[/tex]

środek B(-2,0) i promień r=1.

a.

Okręgi są styczne wewnętrznie,  gdy odległość między środkami okręgów jest równa różnicy promieni:  |AB|=|R-r|>0

[tex]|AB|=\sqrt{(-2+m)^2+(0-0)^2} =\sqrt{(m-2)^2}[/tex]

|R-r|=|1-1|=0  nie jest większe od zera a więc mogą się pokrywać ale nie będą tylko się stykać

b.

Okręgi są styczne zewnętrznie,  gdy odległość między środkami okręgów jest równa sumie promieni:  |AB|=R+r

[tex]|AB|=\sqrt{(-2+m)^2+(0-0)^2} =\sqrt{(m-2)^2}[/tex]

R+r=1+1=2

[tex]\sqrt{(m-2)^2} =2\\|m-2|=2[/tex]

[tex]m-2=2[/tex]        v              [tex]m-2=-2[/tex]

[tex]m=4[/tex]                               [tex]m=0[/tex]

Odp. Okręgi są styczne zewnętrznie dla m=4 lub m=0.