Question

Diketahui v =(0, 0, 0 ) merupakan kombinasi linier u₁ = (2, 4, 0 ) dan u₂ = (1, -1, 3). Apakah v merupakan kombinasi linear dari u₁ dan u₂? Jelaskan!​

Answer 1

Verified answer

Jawaban:

Untuk mengetahui apakah v merupakan kombinasi linear dari u₁ dan u₂, kita harus mencari koefisien a dan b sedemikian sehingga v = au₁ + bu₂.

Dalam hal ini, kita dapat membentuk persamaan:

v = au₁ + bu₂

(0,0,0) = a(2,4,0) + b(1,-1,3)

(0,0,0) = (2a+b, 4a-b, 3b)

Dari sini, kita dapat membentuk sistem persamaan:

2a + b = 0

4a - b = 0

3b = 0

Kita dapat melihat bahwa b harus sama dengan nol karena tidak mungkin dua vektor akan memberikan kontribusi terhadap koordinat z pada vektor hasil. Karena 3b = 0, maka b = 0.

Kita kemudian dapat menyelesaikan sistem persamaan dengan substitusi dan menemukan bahwa a = 0 juga.

Jadi, karena koefisien a dan b sama-sama nol, v memang merupakan gabungan linear dari u₁ dan u₂.

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa v dapat dituliskan sebagai bentuk kombinasi linear dari u₁ dan u₂ dengan koefisien yang tepat.

Answer 2

JAWABAN :

Diketahui bahwa v dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari u₁ dan u₂, yaitu:

v = a u₁ + b u₂

dengan a dan b adalah konstanta yang belum diketahui. Kita ingin mengetahui apakah ada nilai a dan b yang memenuhi persamaan tersebut sehingga v = (0, 0, 0).

Dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan konstanta yang sesuai, kita dapat menulis persamaan ini dalam bentuk matriks:

| 2 1 | | a | | 0 |

| 4 -1 | x | b | = | 0 |

| 0 3 | | | | 0 |

dengan x menyatakan tanda perkalian. Maka secara singkat, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk memeriksa apakah v merupakan kombinasi linear dari u₁ dan u₂, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan tersebut terhadap a dan b dan memeriksa apakah solusinya terdapat atau tidak. Jika solusinya ada, itu berarti v dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari u₁ dan u₂, dan sebaliknya jika tidak ada, maka v tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari u₁ dan u₂. Namun, solusi dari sistem persamaan tersebut tidak unik, sehingga kita perlu memberikan nilai untuk salah satu variabel, misalnya a atau b, untuk bisa menentukan nilai variabel yang lain.