Question

Diketahui H = {u₁, U2, U3} pada P2, dimana u₁(x) = -1 + 2x + x² uz(x) = x3 dan u3(x) = x + x2 + x3
a. Periksa apakah v(x) = 2 + x² + x³ merupakan vektor kombinasi linear dari vektor-vektor pada H
b. Sebutkan definisi dan atau dalil mana yang digunakan utk menjawab soal a)​

Answer 1

Penjelasan dengan langkah-langkah:

a. Kita perlu mencari apakah ada skalar a1, a2, a3 sehingga v(x) = a1u₁(x) + a2u₂(x) + a3u₃(x). Substitusikan masing-masing bentuk dari u₁(x), u₂(x), dan u₃(x) ke dalam persamaan tersebut:

2 + x² + x³ = a₁(-1 + 2x + x²) + a₂x³ + a₃(x + x² + x³)

2 + x² + x³ = (-a₁) + 2a₁x + a₁x² + a₂x³ + a₃x + a₃x² + a₃x³

Kita bisa mengelompokkan koefisien untuk x³, x², dan x:

x³: a₂ + a₃ = 1

x²: a₁ + a₃ = 0

x: 2a₁ + a₃ = 1

konstanta: -a₁ = 2

Dari persamaan di atas, kita dapat mencari nilai dari a₁, a₂, dan a₃ sebagai berikut:

a₁ = -2

a₃ = 2

a₂ = -1

Sehingga v(x) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor pada H, yaitu:

v(x) = -2(-1 + 2x + x²) - x³ + 2(x + x² + x³)

v(x) = 2x² + 2x + 2

b. Definisi yang digunakan dalam menyelesaikan soal adalah definisi vektor kombinasi linear. Sebuah vektor v dalam suatu ruang vektor dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor {u₁, u₂, ..., uₙ} jika ada skalar {a₁, a₂, ..., aₙ} sehingga v = a₁u₁ + a₂u₂ + ... + aₙuₙ. Dalam soal ini, kita mencari apakah vektor v(x) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor pada H.