Question

Diketahui fx = 1+sin 2x pada interval 0
Tentukan
- titik stasioner fungsi f
- interval fungsi f naik dan turun

Answer 1

Jawaban:

Untuk menentukan titik stasioner fungsi f(x) = 1 + sin(2x) pada interval 0, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut dan menyelesaikannya.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Hitung turunan pertama dari fungsi f(x) = 1 + sin(2x) dengan aturan turunan trigonometri dan aturan rantai (chain rule).

f'(x) = 0 + cos(2x) * 2

f'(x) = 2cos(2x)

2. Setel turunan pertama tersebut menjadi 0 dan cari nilai-nilai x yang memenuhi.

2cos(2x) = 0

Untuk mencari x yang memenuhi persamaan tersebut, kita harus memperhatikan jangkauan sin(x), yang berada dalam rentang antara -1 dan 1. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa:

cos(2x) = 0

2x = π/2, π, 3π/2, ...

Namun, kita telah membatasi interval pada 0. Oleh karena itu, kita harus menentukan batasan x untuk memenuhi interval 0.

0 ≤ x < 2π

Substitusikan x = π/4 dalam rentang 0, maka:

2x = π/2

3. Jadi, titik stasioner fungsi f(x) adalah (π/4, f(π/4)), yang merupakan nilai f(π/4) saat x = π/4.

Untuk menentukan interval mana fungsi f(x) naik dan turun, kita perlu memeriksa tanda turunan f'(x) di antara interval dan pada titik stasioner yang telah kita temukan.

1. Evaluasi tanda turunan f'(x) di dalam interval 0.

Letakkan titik-titik kritis di sekeliling interval dan pilih satu titik uji dari setiap interval yang dihasilkan.

Misalnya, kita memilih nilai uji x = 1, dalam interval 0.

Evaluasikan tanda dari f'(1):

f'(1) = 2cos(2 * 1) = 2cos(2) > 0

Dalam interval 0, fungsi f(x) berada dalam keadaan naik.

2. Evaluasi tanda turunan f'(x) di antara titik stasioner (π/4).

Misalnya, kita memilih nilai uji x = π/2, di antara interval 0 dan π/4.

Evaluasikan tanda dari f'(π/2):

f'(π/2) = 2cos(2 * π/2) = 2cos(π) < 0

Di antara titik stasioner, fungsi f(x) berada dalam keadaan turun.

3. Jadi, interval fungsi f(x) naik adalah [0, π/4) dan interval fungsi f(x) turun adalah (π/4, 2π).

Dengan demikian, titik stasioner fungsi f(x) adalah (π/4, f(π/4)) dan interval fungsinya naik adalah [0, π/4) sedangkan untuk interval fungsi f(x) turun adalah (π/4, 2π).