Question

Diketahui

fx = 1+sin 2x pada interval 0
Tentukan
- titik stasioner fungsi f
- interval fungsi f naik dan turun

Answer 1

Jawaban:

Untuk menentukan titik stasioner dan interval naik-turun dari fungsi \(f(x) = 1 + \sin(2x)\), pertama-tama kita perlu mencari turunan pertama \(f'(x)\) dari fungsi ini.

\(f(x) = 1 + \sin(2x)\)

Untuk menghitung \(f'(x)\), kita gunakan aturan rantai:

\(f'(x) = 2\cos(2x)\)

Titik stasioner terjadi ketika \(f'(x) = 0\), jadi kita cari \(x\) yang memenuhi \(2\cos(2x) = 0\).

\(2\cos(2x) = 0\)

\(\cos(2x) = 0\)

Untuk mencari nilai-nilai \(x\) yang memenuhi \(\cos(2x) = 0\), kita tahu bahwa \(\cos(2x) = 0\) ketika \(2x = \frac{\pi}{2} + n\pi\), di mana \(n\) adalah bilangan bulat.

\(2x = \frac{\pi}{2} + n\pi\)

\(x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\)

Jadi, titik stasioner terjadi pada \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\), di mana \(n\) adalah bilangan bulat.

Untuk menentukan interval naik dan turun, kita perhatikan perilaku dari \(f'(x)\), yaitu \(2\cos(2x)\).

1. \(f'(x) > 0\) ketika \(\cos(2x) > 0\), yaitu ketika \(\frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\) untuk \(n\) bilangan bulat.

2. \(f'(x) < 0\) ketika \(\cos(2x) < 0\), yaitu ketika \(x < \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\) atau \(x > \frac{3\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\) untuk \(n\) bilangan bulat.

Jadi, interval naik fungsi \(f(x)\) adalah \(\frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\), dan interval turunnya adalah \(x < \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\) atau \(x > \frac{3\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\), di mana \(n\) adalah bilangan bulat.