Karena f(x) = ax^2 + bx + c, dapat diduga bahwa barisan f(x) akan membentuk barisan aritmetika tingkat 2.
Perhatikan bahwa:
f(1) = 1 = 1^3
f(1) + f(2) = 1 + 7 = 8 = 2^3
f(1) + f(2) + f(3) = 1 + 7 + 19 = 27 = 3^3
Sehingga, dapat diduga bahwa f(1) + f(2) + f(3) + ... f(n) = n^3
===
Bukti:
Berdasarkan f(1) = 1, f(2) = 7, dan f(3) = 19, maka dapat dibentuk sistem persamaan:
a + b + c = 1
4a + 2b + c = 7
9a + 3b + c = 19
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 7 - 1
3a + b = 6
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 19 - 7
5a + b = 12
Sehingga.
(5a + b) - (3a + b) = 12 - 6
2a = 6
a = 3
Substitusi a = 3 ke dalam persamaan yang lain
3(3) + b = 6
9 + b = 6
b = -3
Subsititusi a = 3 dan b = -3 ke persamaan yang lain
3 + (-3) + c = 1
c = 1
Jadi, didapat a = 3, b = -3, dan c = 1
Artinya, f(x) = 3x^2 - 3x + 1
Selanjutnya, perhatikan bahwa
f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = 3(1 + 4 + 9 + ... + n^2) - 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + 1
= 3((1 - 1) + (4 - 2) + (9 - 3) + ... + (n^2 - n)) + 1
= 3(2 + 6 + 12 + 20 + ... + (n^2 - n)) + 1
Deret 2 + 6 + 12 + 20 + ... + (n^2 - n) adalah deret aritmetika tingkat 2 dengan jumlah ((n - 1)(n)(n + 1))/3, maka
f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = 3(((n - 1)(n)(n + 1))/3) + 1
= (n - 1)(n)(n + 1) + 1
= (n^2 - 1)(n) + 1
= n^3 - n + 1
= n^3
Jadi, f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = n^3
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Karena f(x) = ax^2 + bx + c, dapat diduga bahwa barisan f(x) akan membentuk barisan aritmetika tingkat 2.
Perhatikan bahwa:
f(1) = 1 = 1^3
f(1) + f(2) = 1 + 7 = 8 = 2^3
f(1) + f(2) + f(3) = 1 + 7 + 19 = 27 = 3^3
Sehingga, dapat diduga bahwa f(1) + f(2) + f(3) + ... f(n) = n^3
===
Bukti:
Berdasarkan f(1) = 1, f(2) = 7, dan f(3) = 19, maka dapat dibentuk sistem persamaan:
a + b + c = 1
4a + 2b + c = 7
9a + 3b + c = 19
Perhatikan bahwa:
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 7 - 1
3a + b = 6
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 19 - 7
5a + b = 12
Sehingga.
(5a + b) - (3a + b) = 12 - 6
2a = 6
a = 3
Substitusi a = 3 ke dalam persamaan yang lain
3a + b = 6
3(3) + b = 6
9 + b = 6
b = -3
Subsititusi a = 3 dan b = -3 ke persamaan yang lain
a + b + c = 1
3 + (-3) + c = 1
c = 1
Jadi, didapat a = 3, b = -3, dan c = 1
Artinya, f(x) = 3x^2 - 3x + 1
Selanjutnya, perhatikan bahwa
f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = 3(1 + 4 + 9 + ... + n^2) - 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + 1
= 3((1 - 1) + (4 - 2) + (9 - 3) + ... + (n^2 - n)) + 1
= 3(2 + 6 + 12 + 20 + ... + (n^2 - n)) + 1
Deret 2 + 6 + 12 + 20 + ... + (n^2 - n) adalah deret aritmetika tingkat 2 dengan jumlah ((n - 1)(n)(n + 1))/3, maka
f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = 3(((n - 1)(n)(n + 1))/3) + 1
= (n - 1)(n)(n + 1) + 1
= (n^2 - 1)(n) + 1
= n^3 - n + 1
= n^3
Jadi, f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = n^3