Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = c apabila nilai fungsi di x = c dan nilai limit di x = c memiliki nilai yang sama.
\lim_{x \to c} f(x)=f(c)lim
x→c
f(x)=f(c)
Jika fungsi kontinu maka fungsi dapat diturunkan/didiferensialkan di x = c.
Fungsi f(x) memiliki nilai limit pada titik c jika dan hanya jika nilai limit fungsi tersebut jika didekati dari arah kiri titik c dan arah kanan titik c memiliki nilai yang sama.
Kita tentukan dahulu apakah fungsi kontinu di x = 1 atau tidak. Jika di x = 1 fungsi kontinu maka f'(1) ada, sedangkan jika di x = 1 fungsi tidak kontinu maka f'(1) tidak ada.
Jawaban:
f'(1) terdefinisi.
PEMBAHASAN
Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = c apabila nilai fungsi di x = c dan nilai limit di x = c memiliki nilai yang sama.
\lim_{x \to c} f(x)=f(c)lim
x→c
f(x)=f(c)
Jika fungsi kontinu maka fungsi dapat diturunkan/didiferensialkan di x = c.
Fungsi f(x) memiliki nilai limit pada titik c jika dan hanya jika nilai limit fungsi tersebut jika didekati dari arah kiri titik c dan arah kanan titik c memiliki nilai yang sama.
\lim_{x \to c^-} f(x)= \lim_{x \to c^+} f(x)=f(c)lim
x→c
−
f(x)=lim
x→c
+
f(x)=f(c)
Maka~ \lim_{x \to c} f(x)=f(c)Maka lim
x→c
f(x)=f(c)
Jika nilai limitnya berbeda maka fungsi tidak memiliki nilai limit pada titik x = c.
.
DIKETAHUI
\begin{gathered}f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2-x+3,~~x < 1\\ \\1+2\sqrt{x},~~~~x\geq 1\end{matrix}\right.\end{gathered}
f(x)=
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
x
2
−x+3, x<1
1+2
x
, x≥1
.
DITANYA
Tentukan apakah f'(1) ada atau tidak.
.
PENYELESAIAN
Kita tentukan dahulu apakah fungsi kontinu di x = 1 atau tidak. Jika di x = 1 fungsi kontinu maka f'(1) ada, sedangkan jika di x = 1 fungsi tidak kontinu maka f'(1) tidak ada.
> Mencari nilai limit di x = 1.
Untuk limit x = 1 dari kiri (x < 1) :
\lim_{x \to 1^-} f(x)= \lim_{x \to 1^-} (x^2-x+3)lim
x→1
−
f(x)=lim
x→1
−
(x
2
−x+3)
\lim_{x \to 1^-} f(x)=(1)^2-(1)+3lim
x→1
−
f(x)=(1)
2
−(1)+3
\lim_{x \to 1^-} f(x)=3lim
x→1
−
f(x)=3
.
Untuk limit x = 1 dari kanan (x ≥ 1) :
\lim_{x \to 1^+} f(x)= \lim_{x \to 1^-} (1+2\sqrt{x})lim
x→1
+
f(x)=lim
x→1
−
(1+2
x
)
\lim_{x \to 1^+} f(x)=(1)+2\sqrt{(1)}lim
x→1
+
f(x)=(1)+2
(1)
\lim_{x \to 1^-} f(x)=3lim
x→1
−
f(x)=3
.
Karena limit kiri dan limit kanan nilainya sama maka :
\lim_{x \to 1} f(x)=3lim
x→1
f(x)=3
.
> Mencari nilai f(1).
f(1)=1+2\sqrt{1}f(1)=1+2
1
f(1)=1+2f(1)=1+2
f(1)=3f(1)=3
.
Karena \lim_{x \to 1} f(x)=f(1)lim
x→1
f(x)=f(1) maka f(x) kontinu di x = 1. Sehingga fungsi dapat diturunkan di x = 1 menyebabkan f'(1) terdefinisi.
.
KESIMPULAN
f'(1) terdefinisi.
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
Limit dua arah : brainly.co.id/tugas/29558741
Piecewise function : brainly.co.id/tugas/30166028
Piecewise function : brainly.co.id/tugas/30205412
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 11
Mapel: Matematika
Bab : Turunan
Kode Kategorisasi: 11.2.9
Kata Kunci : turunan, fungsim limit kiri, limit kanan, kontinu.