Question

Diketahui dua himpunan;
A={3n|ninN} dan B={3n^(2)|ninN}
Tunjukkan bahwa A~~B ( A ekuivalen B )

Answer 1

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menunjukkan bahwa himpunan A dan himpunan B ekuivalen (A~~B), kita perlu membuktikan ada bijeksi (pemetaan satu-satu dan onto) antara elemen-elemen kedua himpunan tersebut. Dalam hal ini, himpunan A terdiri dari bilangan bulat positif yang merupakan kelipatan dari 3, sedangkan himpunan B terdiri dari bilangan bulat positif yang merupakan kelipatan dari 3 pangkat 2.

Mari kita buktikan ada bijeksi antara A dan B:

Pertama, mari kita buktikan bahwa setiap elemen dalam himpunan A dapat dipetakan secara satu-satu ke himpunan B. Untuk setiap bilangan bulat positif n dalam himpunan A, kita bisa menulisnya sebagai 3n. Jika kita memangkatkan 3n dengan pangkat 2, kita mendapatkan (3n)^2 = 9n^2, yang merupakan elemen dalam himpunan B. Oleh karena itu, setiap elemen dalam himpunan A dapat dipetakan ke himpunan B secara satu-satu.

Selanjutnya, kita perlu membuktikan bahwa setiap elemen dalam himpunan B dapat dipetakan secara satu-satu ke himpunan A. Untuk setiap bilangan bulat positif n dalam himpunan B, kita bisa menulisnya sebagai 3n^2. Jika kita mengakarkan kuadrat dari n, kita mendapatkan akar kuadrat dari 3n^2 = √(3n^2) = √(3) * √(n^2) = √(3) * n. Karena n adalah bilangan bulat positif, √(3) * n juga merupakan bilangan bulat positif. Oleh karena itu, setiap elemen dalam himpunan B dapat dipetakan ke himpunan A secara satu-satu.

Karena ada bijeksi yang saling satu-satu dan onto antara himpunan A dan himpunan B, maka dapat disimpulkan bahwa A ekuivalen B (A~~B).

Dengan demikian, kita telah menunjukkan bahwa himpunan A dan himpunan B ekuivalen.