Diketahui deret geometri dengan suku ketiga 48 dan suku keenam 6. Tentukan:
a. suku pertama dan rasionya
b. jumlah semua sukunya
c. jumlah semua suku genapnya
a. suku pertama dan rasionya
b. jumlah semua sukunya
c. jumlah semua suku genapnya
Jawab:
a. Untuk menentukan suku pertama dan rasio dari deret geometri, kita bisa menggunakan rumus:
an = a1 * r^(n-1)
dengan an adalah suku ke-n, a1 adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah indeks suku tersebut.
Kita tahu bahwa suku ketiga (a3) adalah 48 dan suku keenam (a6) adalah 6. Oleh karena itu, kita dapat membuat sistem persamaan:
a3 = a1 * r^(3-1) = 48
a6 = a1 * r^(6-1) = 6
Dari persamaan pertama, kita dapat mengubahnya menjadi a1 * r^2 = 48, sehingga a1 = 48/r^2.
Substitusikan a1 ke dalam persamaan kedua:
48/r^2 * r^5 = 6
r^3 = 6/8
r^3 = 3/4
r = (3/4)^(1/3)
Sehingga kita dapatkan nilai rasionya, yaitu r = 0.84375.
Substitusikan r ke dalam persamaan a1 * r^2 = 48, maka kita dapatkan nilai suku pertamanya, yaitu a1 = 64.
Jadi, suku pertama adalah 64 dan rasionya adalah 0.84375.
b. Untuk menentukan jumlah seluruh suku (Sn) dari deret geometri, kita dapat menggunakan rumus:
Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)
dengan n adalah jumlah suku pada deret tersebut. Dalam hal ini, kita tidak tahu berapa banyak jumlah suku pada deret tersebut, namun kita dapat menghitung nilai rasio (r) sebelumnya. Oleh karena itu, kita akan menggunakan rumus berikut ini untuk mencari jumlah seluruh suku:
Sn = a1 * (r^n - 1) / (r - 1)
Substitusikan nilai-nilai yang telah kita dapatkan sebelumnya ke dalam rumus di atas:
Sn = 64 * ((0.84375)^n - 1) / (0.84375 - 1)
Kita tidak tahu berapa jumlah keseluruhan suku dalam deret tersebut, namun kita tahu bahwa Sn = 64 + 48 + 36 + ... + akhiran, di mana kita tidak tahu jumlah suku yang terdapat di akhiran deret tersebut. Oleh karena itu, untuk menghitung jumlah seluruh suku, kita perlu menggunakan rumus lain yang disebut dengan "rumus batas akhir":
Sn = a1 * (1 - r^(n+1)) / (1 - r)
dalam rumus ini, kita hanya perlu menambahkan satu suku untuk nilai terakhir pada deret, karena kita tidak tahu jumlah suku pada deret tersebut secara pasti. Sehingga, kita dapat hitung Sn sebagai berikut:
Sn = 64 * (1 - (0.84375)^(n+1)) / (1 - 0.84375)
Untuk menentukan nilai n, kita bisa menghitung perbandingan a6 / a3 = 6/48 = 1/8 dengan menggunakan rumus an = a1 * r^(n-1). Kita bisa memperoleh n = 5. Dengan demikian, kita dapat menghitung Sn sebagai berikut:
Sn = 64 * (1 - (0.84375)^(6)) / (1 - 0.84375) = 388.05
Sehingga, jumlah semua sukunya adalah 388.05.
c. Untuk menentukan jumlah semua suku genap dari deret geometri, kita dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
Sgenap = a2 * (1 - r^(n/2)) / (1 - r^2)
Kita tidak tahu berapa jumlah keseluruhan suku pada deret tersebut, namun kita tahu bahwa ada suku genap. Oleh karena itu, kita akan menggunakan rumus batas akhir untuk mencari jumlah suku genap. Jika n adalah bilangan genap, maka jumlah suku genap dapat dinyatakan sebagai n/2. Substitusikan nilai n = 5 dan deret suku genap a2, a4, a6 ke dalam rumus di atas:
Sgenap = a2 * (1 - r^(5/2)) / (1 - r^2)
Kita telah mengetahui nilai r dan a2 dari subsoal (a) di atas. Sehingga, kita dapat menghitung jumlah semua suku genap sebagai berikut:
Sgenap = 96 * (1 - (0.84375)^(5/2)) / (1 - (0.84375)^2) = 106.909
Jadi, jumlah semua suku genap adalah 106.909.