diketahui bahwa Nabi Muhammad ditinggal wafat ibunya pada usia a tahun menikah dengan Khadijah Al Kubro pada usia BC tahun dan menerima wahyu pertama kali pada usia di tahun selanjutnya dibuat bilangan-bilangan yang terdiri atas 5 digit berbeda dari angka a,b,c,d dan e bila bilangan-bilangan itu diurutkan mulai yang terbesar maka Selisih dari bilangan urutan pertama dan ketiga adalah...
catatan:BC dan d e adalah bilangan 2 digit
A. 18
B. 48
C. 162
D. 180
catatan:BC dan d e adalah bilangan 2 digit
A. 18
B. 48
C. 162
D. 180
Jawaban:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus menentukan nilai a, BC, dan tahun pertama Nabi menerima wahyu.
Dari informasi yang diberikan, kita dapat menulis persamaan sebagai berikut:
a + BC + 1 = usia Nabi saat menerima wahyu
Kita juga tahu bahwa Nabi menikah dengan Khadijah pada usia BC tahun. Dengan kata lain:
a + BC = usia Nabi saat menikah
Sekarang, mari kita ubah format tahun menjadi bilangan terdiri dari 5 digit. Kita sudah memiliki 5 angka yang berbeda, yaitu a, b, c, d, dan e. Karena kita ingin membentuk bilangan dengan 5 digit, maka kita harus memasukkan salah satu dari angka-angka ini menjadi digit pertama (digit terbesar). Misalkan digit pertama adalah a, maka kita memiliki 4 angka yang tersisa untuk menyusun 4 digit lainnya. Oleh karena itu, ada 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara untuk mengatur 4 angka ini menjadi 4 digit lainnya. Jadi, ada total 24 bilangan yang bisa dibuat dengan digit a, b, c, d, dan e.
Kita harus menentukan bilangan apa saja yang terbentuk dari digit-digit ini dan menyusunnya dari yang terbesar ke yang terkecil. Kita tahu bahwa kita memiliki 5 digit yang berbeda; artinya, digit pertama haruslah a. Kemudian, kita bisa menentukan digit kedua, ketiga, keempat, dan kelima dengan mencari digit terbesar yang tersisa, kemudian secara terurut ke angka yang lebih kecil:
- Digit kedua: pilih digit terbesar yang tersisa (b, c, d, atau e)
- Digit ketiga: pilih digit terbesar yang tersisa dari 3 digit yang tersisa
- Digit keempat: pilih digit terbesar yang tersisa dari 2 digit yang tersisa
- Digit kelima: pilih digit yang tersisa
Jadi, bilangan terbesar yang bisa dibuat adalah:
abced
Bilangan terkecil yang bisa dibuat adalah:
aecbd
Kita harus menentukan selisih antara bilangan urutan pertama (abced) dan ketiga (adecb). Kedua bilangan ini memiliki 5 digit yang sama, jadi kita hanya perlu melihat digit yang berbeda.
- Digit pertama (a) tidak berbeda
- Digit kedua (b) tidak berbeda
- Digit ketiga (c) tidak berbeda
- Digit keempat (e) berbeda: di urutan pertama, digit keempat adalah d, sedangkan di urutan ketiga, digit keempat adalah c. Selisihnya adalah:
4 - 3 = 1
- Digit kelima (d) berbeda: di urutan pertama, digit kelima adalah b, sedangkan di urutan ketiga, digit kelima adalah e. Selisihnya adalah:
2 - 5 = -3
Untuk menghindari nilai negatif, kita ubah bilangan urutan pertama dan ketiga menjadi:
Urutan Pertama:
abced = 10^4 a + 10^3 b + 10^2 c + 10^1 e + 10^0 d
= 10^4 a + 10^3 b + 10^2 c + 10^1 e + 1d
Urutan Ketiga:
adecb = 10^4 a + 10^3 d + 10^2 e + 10^1 c + 10^0 b
= 10^4 a + 10^3 d + 10^2 e + 1c + 10^0 b
Kedua bilangan ini memiliki selisih:
abced - adecb = (10^1 e + 1d) - (1c + 10^0 b)
= 10e - 10b + d - c
= 10(e - b) + (d - c)
= 10(3) + (-3)
= 27
Jadi, selisih dari bilangan urutan pertama dan ketiga adalah 27. Oleh karena itu, jawabannya adalah:
D. 180