Question

Diketahui:
• AC = FD = AF = BE = CD = 8 cm
• AB = FE = ¼AC
• Garis lengkung (warna merah) bersinggungan dengan dengan BE
• Garis lengkung (warna merah) menghubungkan titik A dan F

Ditanya:
• Berapa panjang garis lengkung tersebut? • Apabila disempurnakan menjadi lingkaran, berapa jari-jari lingkaran tersebut?​

Answer 1

Jawaban:

15/4 cm.

Penjelasan:

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan beberapa konsep geometri seperti teorema Pythagoras, segitiga sama sisi, dan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling lingkaran.

Pertama-tama, kita bisa menghitung panjang AB dan FE dengan menggunakan persamaan AB = FE = 1/4 AC = 2 cm.

Selanjutnya, kita dapat menggambar sebuah garis (garis HI pada gambar) yang merupakan garis tegak lurus dari titik tengah BE dan melalui titik F. Karena BE = 8 cm, maka titik tengah BE adalah E', dengan EE' = 4 cm.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga FEE', kita dapat menghitung panjang FE' sebagai berikut:

FE'² = FF'² + E'E²

FE'² = (FE - FF')² + E'E²

FE'² = (2 - FF')² + 16

FE'² = FF'² - 4FF' + 20

Kita tahu bahwa FF' adalah jari-jari lingkaran yang akan dibuat, sehingga kita perlu mencari nilainya. Kita juga tahu bahwa garis lengkung (warna merah) bersinggungan dengan BE, sehingga sudut BFH (lihat gambar) adalah sudut 90 derajat. Dengan demikian, segitiga BFH adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 8 cm, sehingga sudut BHF adalah 60 derajat.

Dengan menggunakan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, kita dapat menghitung panjang lengkung garis merah sebagai berikut:

Lengkung garis merah = 2πr × (sudut BHF / 360)

Lengkung garis merah = πr / 3

Kita dapat menghitung panjang FF' dengan menggunakan persamaan garis lengkung sebagai berikut:

Lengkung garis merah = FF' × (sudut FF'H / 360)

πr / 3 = FF' × (120 / 360)

FF' = 2r / 3

Substitusikan nilai FF' ke dalam persamaan untuk FE' yang telah kita turunkan sebelumnya:

(2r / 3)² = FF'² - 4FF' + 20

4r² / 9 = 4r² / 9 - 8r / 3 + 20

8r / 3 = 20

r = 15 / 4

Jadi, panjang garis lengkung (warna merah) adalah πr / 3 = (π / 3) × (15 / 4) = 5π / 4 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 15/4 cm.